Abstoßung und Anziehung elektrischer Ströme

Ich würde die spezielle Relativitätstheorie außen vor lassen. Ich meine: Magnetismus ist ein relativistischer Effekt in dem Sinne, dass er aus der Anwendung der (speziellen) Relativitätstheorie auf die Elektrostatik hervorgeht, aber ihre Beziehung ist eher konzeptuell und verdient möglicherweise eine neue Frage, die sich ganz dieser Sache widmet. Um es kurz zu machen, man braucht keine spezielle Relativitätstheorie, um magnetische Kräfte zu verstehen.

Alles, was Sie wissen müssen, ist, dass es sich um ein geladenes Teilchen handelt$q$bewegt sich mit einer Geschwindigkeit$\mathbf{v}$durch ein elektrisches Feld$\mathbf{E}$und ein Magnetfeld$\mathbf{B}$, erfährt es die Lorentzkraft

$$\mathbf{F_L} = q( \mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})$$

Dies ist zusammen mit den Maxwellschen Gleichungen wirklich die grundlegende Gleichung für die Elektrodynamik.

Nun wird ein stromdurchflossener Draht in der Regel als insgesamt neutral angesehen (dh die Anzahl der Elektronen und Ionen ist gleich, sodass die Nettoladung Null ist), sodass Sie das elektrische Feld nehmen können$\mathbf{E} = 0$.

Dann haben Sie es mit einem Strom zu tun, nicht mit einer einzelnen Ladung. So erhalten Sie die obige Gleichung in Bezug auf den Strom$I$?

Der elektrische Strom$I$definiert ist$\frac{dq}{dt}$Wo$q$ist die elektrische Ladung. Die Geschwindigkeit ist definiert als$\frac{d\mathbf{l}}{dt}$Wo$d\mathbf{l}$ist das Wegelement in Richtung des Stroms (oder der Flugbahn der Ladung).

Also die infinitesimale Kraft auf eine infinitesimale Ladung$dq$Ist$d\mathbf{F_L} = dq( \mathbf{v}\times\mathbf{B})$, Wo

$$dq\cdot\mathbf{v} = dq\cdot\frac{d\mathbf{l}}{dt} = \frac{dq}{dt} d\mathbf{l} = Id\mathbf{l}$$ .

Um die Gesamtkraft zu erhalten, integrieren Sie einfach entlang des durch definierten Pfads$d\mathbf{l}$:

$$\mathbf{F_L} = \int_L I d\mathbf{l}\times\mathbf{B}$$

OK. Aber du hast zwei Drähte. Und Sie wissen, dass ein stromführender Draht ein Magnetfeld erzeugt, das gegeben ist durch (vorausgesetzt, der Draht verläuft in einer geraden Linie):

$$B_{\phi} = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{r}$$ was bedeutet, dass es nur in der tangentialen ( $\neq$radiale) Richtung. Die Richtung des Feldes wird durch die Rechte-Hand-Regel angegeben, richten Sie Ihren rechten Daumen mit der aktuellen Richtung aus und Ihre Finger sagen Ihnen die Richtung des Magnetfelds. Diese Formel erhält man über das Ampèresche Gesetz.

Wenn die beiden Drähte in einer geraden Linie liegen und durch einen Abstand getrennt sind$d$, der Wert des Magnetfelds aufgrund des einen an der Position des anderen ist$B = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{d}$. Angenommen, die Drähte führen gleiche, konstante Ströme$I$.

Wenn Sie dies als Magnetfeld in der Lorentz-Kraft verwenden, erhalten Sie eine Kraft von

$$|\mathbf{F}| = I\cdot(\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{d})\cdot \int_L dl = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I^2}{d}\cdot L$$ Wo $L$ist die Länge der Drähte oder eine Kraft pro Längeneinheit von $$|\mathbf{F}| = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I^2}{d}$$ .

$d\mathbf{l}$Punkte entlang der Strömung: Verwenden Sie dies und das Kreuzprodukt in der Lorentz-Kraftgleichung, um die Richtung der resultierenden Kraft zu erhalten. Wenn die Ströme parallel sind, ist die Kraft anziehend, während sie entgegengesetzt sind, ist die Kraft abstoßend. Die Beträge der Kräfte sind gleich, da sie nur vom Drahtabstand abhängen$d$und auf dem Strom$I$.

Beachten Sie, dass der andere Draht aufgrund des Bewegungsgesetzes von Newton III genau die gleiche Kraft auf die Faust ausübt.