Analyse einer linearen Leiterschaltung

Wenn ich das Diagramm verstehe, ist I der Strom durch den 1-Ohm-Widerstand ganz rechts im Schaltplan.

Was sie sagen, ist, angenommen , I ist 1 A. Jetzt wissen Sie zum Beispiel, dass die Spannung am nächsten Knoten links 3 V beträgt. Und Sie haben einen Strom von 1 A durch den 3-Ohm-Widerstand. Da Sie 2 A durch die letzten beiden Sprossen der Leiter haben, müssen Sie 4 V über den 2-Ohm-Widerstand 2. von rechts haben (sehen Sie, wie viel einfacher dies wäre, wenn Sie nur Bezeichner in Ihren Schaltplan einfügen würden ? ) . Und so weiter, arbeiten Sie sich nach links zurück.

Wenn Sie jetzt zur Quelle zurückkehren, erhalten Sie eine andere Spannung als 7 V. Angenommen, Sie erhalten 21 V (ich habe nicht berechnet, ich habe nur eine Zahl erfunden).

Da das System linear ist, wissen Sie, dass, wenn Sie diese Spannung auf 7 V herunterskalieren, der Strom I ebenfalls um den Faktor 3 herunterskaliert wird, sodass das tatsächliche I 333 mA beträgt und nicht das ursprünglich angenommene 1 A.

Ich zeichne die Schaltung gerne neu:

Unter der Annahme, dass alle Ströme durch die Widerstände nach unten fließen:

$$\begin{equation} i_{10} = i_{6} + i_{8} + i\\ i_{1} = i_{2} + i_{4} + i_{10} \end{equation}$$

Wenn wir uns den äquivalenten Widerstand von R9 und R11 ansehen, können wir feststellen, dass durch diesen Zweig der gleiche Strom fließt wie durch R8 (2 + 1 = 3).

$$\begin{equation} i_{8} = i\\ i_{7} = 2 \cdot i\\ i_{10} = i_{6} + 2 \cdot i \end{equation}$$

Erhalten des äquivalenten Widerstands von R7, R8, R9 und R11. Wir können dies schnell auf 3,5 Ohm berechnen. Da dies der halbe Widerstand von R6 ist, wissen wir, dass durch R7 doppelt so viel Strom fließt wie durch R6.

$$\begin{equation} i_{6} = \frac{i_7}{2} = i\\ i_5 = i_{10} = 3 \cdot i \end{equation}$$

Lassen Sie uns nun den äquivalenten Widerstand von R5, R6, R7, R8, R9, R10 und R11 erhalten. Wir wissen bereits, dass R7, R8, R9 und R11 3,5 Ohm haben, und parallel zu zusätzlichen 7 Ohm von R6, die uns 7/3 Ohm geben. Wenn Sie dann die Reihen R5 und R10 hinzufügen, erhalten Sie 16/3 Ohm.

Da sich der Strom relativ zu ihrem Widerstand zwischen den beiden Armen verteilt,

$$\begin{equation} i_{4} \cdot R_4 = \frac{16}{3} \Omega \cdot i_5\\ i_{4} = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot i = 4 \cdot i\\ i_3 = i_4 + i_5 = 7 \cdot i \end{equation}$$

Nochmals wiederholend erhalten wir den äquivalenten Widerstand für die Widerstände R3-R11.

$$\begin{equation} R_{3-11} = R_3 + \left(\frac{1}{R_4} + \frac{3}{16} \right)^{-1} = 2 + \frac{16}{7} = \frac{30}{7} \Omega \end{equation}$$

Spülen Sie nun und wiederholen Sie den aktuellen Verteilungsschritt.

$$\begin{equation} i_{2} \cdot R_2 = \frac{30}{7} \Omega \cdot i_3\\ i_{2} = \frac{6}{7} \cdot 7 \cdot i = 6 \cdot i\\ i_1 = i_2 + i_3 = 13 \cdot i \end{equation}$$

Jetzt ist es an der Zeit, den vollständigen äquivalenten Widerstand zu erhalten:

$$\begin{equation} R_{eq} = R_1 + \left( \frac{1}{5} + \frac{7}{30} \right) ^{-1} = 2 + \frac{30}{13} = \frac{56}{13} \Omega \end{equation}$$

Dann, unter Verwendung unseres grundlegenden Ohmschen Gesetzes:

$$\begin{equation} Vs = i_1 \cdot R_{eq} = 13 \cdot i \cdot \frac{56}{13} = 56 \cdot i \end{equation}$$

Mit Vs = 7 V,$i = \frac{7}{56} = \frac{1}{8} = 0.125A$.

Ich bin nicht davon ausgegangen, dass i = 1A ist, aber wenn ich es am Ende getan hätte, hätte ich am Ende einige Vs! = 7V gehabt. Stattdessen hätte ich Vs = 56 V erhalten, um i = 1A zu erhalten.

Die Skalierung kann erfolgen, indem die Zielspannung durch die skalierte Spannung dividiert wird, und ebenso für den Zielstrom und die skalierte Spannung:

$$\begin{equation} \frac{7V}{56V} = \frac{i_{actual}}{1A}\\ i_{actual} = 0.125A \end{equation}$$

Welches ist die gleiche Antwort (wie erwartet).