Anzahl der siegreichen Staatskoalitionen im Wahlkollegium

Definieren Sie eine Koalition als eine Teilmenge der 51 Bundesstaaten (einschließlich DC als Bundesstaat), die die USA bilden. Definieren Sie eine Koalition als gewinnend, wenn die Gesamtzahl der Wählerstimmen des Staates in dieser Koalition 270 oder mehr beträgt (ignorieren wir zunächst, dass zwei kleine Staaten die Dinge komplizierter machen, indem sie eine gemischte Wählergruppe zulassen). Es gibt insgesamt 2^51 Koalitionen und jeder Staat gehört zu 2^50 (etwa 1000 Billionen) von ihnen. Für jeden Staat können wir seine Macht als die Zahl der siegreichen Koalitionen definieren, denen er angehört.

Wurde die Macht jedes Staates berechnet?

Ich bin mir ziemlich sicher, dass es berechnet wurde, es sind nur etwa 2000 Billionen Additionen von weniger als 50 Begriffen, aber wo kann ich das finden? Ich bin mir auch ziemlich sicher, dass das, was ich hier Macht nenne , einen spezifischeren Namen hat, aber ich weiß es nicht, was mich wahrscheinlich daran hindert, mit Google zu finden, wonach ich suche.

Wären es nicht 50! Totale Koalitionen? Oder ist meine Kombinatorik zu eingerostet?
@DavidGrinberg Ein Staat / Bezirk kann entweder in einer Koalition sein oder nicht. Es gibt 51 von ihnen. Das ergibt 2^51 Koalitionsaufteilungen: eine für jede Binärzahl mit 50 Ziffern. Es gibt 51! Anordnungen der Staaten. 51, weil wir den District of Columbia einschließen. Das ist eigentlich falsch, denn Maine und Nebraska stimmen per Distrikt ab. Also eigentlich 2^56. Aber wenn wir davon ausgehen, dass alle Kongressbezirke in ME und NE so stimmen wie ihr Bundesstaat, 2^51.
Fünfunddreißig, wahrscheinlich.
Dies wäre eine großartige Frage für math.SE, da die Verbindung zur Politik minimal ist. Es könnte jedoch NP schwer zu lösen sein. Grundsätzlich betrachten Sie Kombinationen von Wahlstimmen ohne einen bestimmten Staat, die sich zu (Wahlstimmen von 270 Staaten) oder mehr summieren.
@barrycarter es ist nicht NP-schwer, es ist einfach viel.
Da außerdem alle Staaten, die nicht in der Koalition sind, Teil der anderen Koalition sind, haben wir alle Koalitionen doppelt gezählt und können die Anzahl von 2^51 Koalitionen durch 2 dividieren, um mögliche 2^50 mögliche Koalitionen zu erhalten.
Wenn ein oder mehrere Staaten für einen Dritten stimmen, nehmen natürlich die verschiedenen Möglichkeiten zu.
@SQB Ich wollte sagen, dass es NP schwer ist, wenn wir das allgemeine Problem lösen: eine Folge von n Zahlen und eine Zahl M, die einige Teilmengen der Zahlen treffen oder überschreiten werden. Ich glaube jedoch, dass ich einen rekursiven Ansatz gefunden habe, der nur lineare Zeit benötigt ... vielleicht.
@ohwilleke nein, wenn wir uns alle möglichen Kombinationen von Zuständen ansehen, werden einige Kombinationen eine Mehrheit der Stimmen haben und andere nicht. Bei einer gegebenen Kombination wäre es unerheblich, ob sich die anderen Bundesländer alle für denselben Kandidaten entschieden oder ob sie sich für mehrere andere Kandidaten entschieden hätten, da die betrachtete Kombination immer noch entweder eine Stimmenmehrheit hätte oder nicht.
Ich arbeite hier daran: github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/STACK/bc-coalition.m falls es jemanden interessiert. Nicht so schwer, wie es scheint. Multiplizieren Sie (1+x)^iStilpolynome für eine einfachere Lösung.

Antworten (3)

Ohne die eigentliche Berechnung durchzuführen, ist leicht zu erkennen, dass je mehr Wahlstimmen ein Staat hat, desto mehr Macht (gemäß Ihrer Definition) wird er haben.

Nehmen wir an, ein kleineres Land mit 4 Bundesstaaten, die praktischerweise A, B, C und D genannt werden, hat jeweils 1, 2, 3 und 4 Stimmen im Wahlkollegium dieses Landes. Diese Stimmen summieren sich auf 10, sodass eine Koalition mindestens 6 Stimmen benötigt, um eine siegreiche Koalition zu sein.

Es sind 8 Teilungen möglich, die jeweils zwei Koalitionen ergeben:

  1. A + B + C + D gegen niemanden
  2. A + B + C gegen D
  3. A + B + D gegen C
  4. A + C + D gegen B
  5. B + C + D gegen A
  6. A + B gegen C + D
  7. A + C gegen B + D
  8. A + D gegen B + C

Für Staat D mit seinen 4 Stimmen im Electoral College gibt es zwei Möglichkeiten, die Koalitionen zu bestimmen, die ihn nicht gewinnen werden:

  1. Status D allein (Option 2 oben)
  2. Zustände A und D zusammen (Gleichstand; Option 8 oben).

Alle anderen 6 Möglichkeiten, die Staaten aufzuteilen, werden dazu führen, dass die Koalition D gewinnt.

Staat A hingegen hat mit seiner Einzelstimme nur 4 Gewinnmöglichkeiten (Optionen 1, 2, 3 und 4 oben).

Für Zustand B gibt es 5 Gewinnmöglichkeiten (1, 2, 3, 5, 7) und für Zustand C ebenfalls 5 (1, 2, 4, 5 und 6).

Die Seite 270 to Win hat eine interaktive Karte , die Sie sich ansehen können, um selbst damit zu experimentieren.

Beachten Sie, dass "mehr Wahlmännerstimmen = mehr Macht" nicht absolut ist. Es ist möglich, Wählerstimmenzuteilungen zu konstruieren, die kleineren Staaten mehr Macht verleihen, als ihre Stimmenzahlen vermuten lassen. (Quelle: "Mathematical Recreations" in einer alten Ausgabe von Scientific American ; eine solche Anordnung aufzustellen ist bei 51 Staaten schwieriger als bei den im Artikel verwendeten kleinen Zahlen.)
@Mark: Obwohl das Gegenteil der Fall ist, ist eine Zuteilung der Wahlstimmen, die kleineren Staaten weniger Macht verleiht, als ihre Stimmenzahlen vermuten lassen, trivial. Lassen Sie 61,6 % der nationalen Bevölkerung in einen Staat ziehen, damit dieser 268 der 435 Sitze des Repräsentantenhauses erhält (und somit 270 der 538 Wahlmännerstimmen). Dann hätte dieser eine Superstaat die totale Kontrolle über die Präsidentschaftswahlen.

Ich hatte zufällig noch eine Kopie eines Computerprogramms, das ich damals im College geschrieben hatte, um den Banzhaf Power Index des Electoral College zu berechnen. Lässt man es mit der Aufteilung der Volkszählung 2010 (verwendet für die Präsidentschaftswahlen 2012, 2016 und 2020) laufen, ergeben sich die folgenden „Macht“-Werte als Funktion der Wählerstimmen:

 3: 0.022622 WY DC VT ND AK SD DE MT
 4: 0.030169 RI NH ME HI ID
 5: 0.037720 NE WV NM
 6: 0.045277 NV UT KS AR MS IA
 7: 0.052842 CT OK OR
 8: 0.060416 KY LA
 9: 0.067999 SC AL CO
10: 0.075594 MN WI MD MO
11: 0.083202 TN AZ IN MA
12: 0.090823 WA
13: 0.098460 VA
14: 0.106113 NJ
15: 0.113784 NC
16: 0.121475 GA MI
18: 0.136921 OH
20: 0.152464 PA IL
29: 0.223975 FL NY
38: 0.298862 TX
55: 0.471147 CA
Gute Antwort, obwohl Sie vielleicht den Banzhaf-Leistungsindex ein wenig erklären möchten.
Gute Antwort, danke. Ich glaube, ich habe Ihren Artikel irgendwo im Internet gesehen. Es gibt jedoch eine Subtilität in der Art und Weise, wie der Banzhaf Power Index definiert ist. Wenn ich dem Papier glaube, das ich gesehen habe, gibt es den Banzhaf-Machtindex eines Staates, der definiert, indem für einen bestimmten Staat die Anzahl der gewinnenden Koalitionen gezählt wird, denen er angehört, und die verlieren würden, wenn der Staat die Seite wechselt . Dies ist eine (wahrscheinlich bessere) Variante dessen, was ich gefragt habe. Aber dann gibt es den Banzhaf-Power-Index eines typischen Wählers in einem Staat, der anders ist, und das ist, was in Ihrem Beitrag berichtet wird, wenn ich recht habe ...
Er wird geschätzt (nicht genau berechnet) als der Machtindex des Staates dividiert durch die *Quadratwurzel seiner Bevölkerung, aus einem Grund, den ich mir noch nicht die Zeit genommen habe zu verstehen, da ich diese Woche ziemlich beschäftigt bin. Aber habe ich recht mit der Interpretation Ihrer Zahlen?
@Joël: Meine Zahlen beziehen sich auf die Staaten, nicht auf die Bevölkerung in ihnen. Was die Sache mit der Quadratwurzel betrifft, liegt der Grund darin, dass, wenn Wähler als unabhängige zufällige Bernoulli-Variablen betrachtet werden, die Wahrscheinlichkeit eines exakten Gleichstands (der von einem einzelnen Wähler gebrochen werden kann) O(1/√n) ist, wobei n ist Population.

Lassen Sie mich zunächst sagen, dass ich immer noch daran arbeite, das Problem für die letzte Wahl herauszufinden, aber ich denke, ich mache einige Fortschritte und wollte die Fortschritte teilen, während das eigentliche Problem das Rechnen ist. Es gibt viele mögliche Koalitionssets. Es gibt jedoch eine Reihe von Möglichkeiten, die Anzahl der Sätze im Lösungsraum strategisch zu reduzieren. Die erste Kürzung, die wir vornehmen können, besteht darin, die Mindestanzahl von Staaten zu definieren, die erforderlich sind, um eine Wahlmännermehrheit zu erhalten. Für 2012 beträgt die Mindestzahl der Staaten, um 270 zu erreichen, 12.

California - 55
Texas - 38
Florida, New York - 29
Illinois, Pennsylvania - 20
Ohio,  18
Georgia, Michigan - 16
North Carolina - 15
New Jersey - 14
Virginia - 13

Dadurch verringert sich die Zahl der möglichen Kombinationen von 2251799813685247bis 2251735594475336. Das ist keine große Reduzierung, aber ich arbeite an einigen Methoden, um weitere Kürzungen vorzunehmen.

Ich dachte, es wäre interessant, ein besser handhabbares Problem zu betrachten, die ersten Präsidentschaftswahlen im Jahr 1788. Im Jahr 1788 gab es insgesamt 69 Wahlmännerstimmen aus 10 Staaten.

Connecticut - 7
Delaware - 3
Georgia - 5
Maryland - 6
Massachusetts - 10
New Hampshire - 5
New Jersey - 6
Pennsylvania - 10
South Carolina - 7
Virginia - 10

In diesem Fall brauchte eine Koalition eine Mehrheit der insgesamt 69 Stimmen, nämlich 35 Stimmen, um auf der Gewinnerseite zu stehen. Dies entspricht einer Mindestkoalitionsgröße von vier Staaten. Es gibt 848Gesamtkoalitionen, die mindestens vier Staaten umfassen. Testen Sie jetzt jede mögliche Koalition

{Connecticut, Delaware, Georgia, Maryland}
{Connecticut, Delaware, Georgia, Massachusetts}
{Connecticut, Delaware, Georgia, New Hampshire}
...
...
{Connecticut, Delaware, Georgia, Maryland, Massachusetts, New Hampshire, New Jersey, Pennsylvania, South Carolina, Virginia}

Es ist möglich, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass ein bestimmter Staat Teil der Koalition ist, die den Präsidenten wählt. Bei der ersten Wahl sind die Wahrscheinlichkeiten:

Connecticut - 0.353774    
Delaware - 0.316038
Georgia - 0.334906
Maryland - 0.346698
Massachusetts - 0.39033
New Hampshire - 0.334906
New Jersey - 0.346698
Pennsylvania - 0.39033
South Carolina - 0.353774
Virginia - 0.39033

Ich werde auf jeden Fall auf dem Laufenden bleiben, wenn ich Fortschritte im aktuellen Wahlzyklus machen kann.

In Wirklichkeit ist es keine einfache Frage mathematischer Kombinationen. Basierend auf demografischen Daten gibt es Staaten, die fest die eine oder andere Partei sind, Staaten, die normalerweise die eine oder andere Partei sind, aber unter ungewöhnlichen oder extremen Umständen anders abstimmen können, und Swing-Staaten. Die überwiegende Mehrheit der Kombinationen ist theoretisches Rauschen.
@ fixer1234 Es hängt davon ab, welche Frage Sie wirklich im Sinn haben. Wenn die Frage lautet "nutzt das Electoral College langfristig dem einen oder anderen Bundesland Vorteile", dann ist es nicht wirklich relevant, dass einige Bundesländer derzeit sicher in der Kolumne einer Partei stehen und nur wenige Swing States sind. Ich bin mir sicher, dass es in den letzten hundert Jahren nicht viele Staaten gibt, die ihre Stimme (demokratisch oder republikanisch) bei Präsidentschaftswahlen nie geändert haben.
@Marchi Danke, tolle Antwort. Es ist wirklich überraschend, dass Delaware mit nur 3 Wahlmännerstimmen fast die gleiche Macht hat wie Virginia mit 10. Sind Sie sich Ihrer Zahlen sicher?
@ fixer1234 Tatsächlich hat kein Staat seit 1964 konstant für eine Partei gestimmt, wie ich (leicht) überprüft habe. Auf nicht allzu lange Sicht sind alle Staaten Swing-Staaten. Sie haben jedoch Recht, dass es eine Korrelation zwischen Staaten gibt, Staaten, die dazu neigen, gemeinsam abzustimmen. Der alte Süden ist ein solcher Block, der beim Betrachten der Wahlkarten ins Auge springt, aber es scheint nicht viele andere zu geben.
@Joël, interessant. Ich nehme an, wenn Sie weit genug zurückgehen, gab es in allen Bundesstaaten Verschiebungen (obwohl ich mir ohne einen Blick auf die Statistiken schwer vorstellen kann, dass sich bestimmte Bundesstaaten wie Kalifornien in mindestens Generationen verändert haben). Ich habe die Frage aus der Perspektive betrachtet, dass die Analyse zu einem bestimmten Zeitpunkt hauptsächlich nützlich ist (z. B. Analyse / Planung der nächsten Wahl). Kurzfristig gibt es Staaten, die geradezu grundsolide sind.
@ Fixer1234. Ja. Was Kalifornien betrifft, so hat es seit 1952 9 Mal Republikaner und 8 Mal Demokraten gewählt. Ich war auch überrascht, als ich das zum ersten Mal gesehen habe.
@Joël: Ich bin mir ziemlich sicher in der Zahl, aber definitiv nicht 100%.
@ fixer1234: Sie haben absolut Recht, wenn Sie sagen, dass Staaten bei echten Wahlen keine diskreten Wahrscheinlichkeiten haben, für einen Kandidaten / eine Partei gegenüber einem anderen zu stimmen. In der Praxis hat jeder Staat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die mit der Wahlauswahl verbunden ist. Um dann die Wahrscheinlichkeiten eines bestimmten Kandidaten zu finden, zu gewinnen, und ob ein bestimmter Staat an der siegreichen Koalition teilgenommen hat, ist ein viel komplizierteres statistisches Modell. Sie müssten höchstwahrscheinlich etwas Bootstrapping durchführen, um die Antwort zu erhalten.
@fixer1234: Das letzte Mal, dass Kalifornien bei einer Präsidentschaftswahl für einen Republikaner stimmte, war 1988.
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