Aufteilung der kinetischen Energie in Komponenten in der Relativitätstheorie

Was Sie suchen, ist eine Funktion von$f(v_i)$so dass$f(v_x) + f(v_y) + f(v_z) = KE$.

Im Fall der Newtonschen Physik$f(v_i) = \frac{1}{2}mv_i^2$.

Im Falle der speziellen Relativitätstheorie ist es unmöglich, eine solche Funktion zu finden.

Beweis durch Widerspruch: Angenommen, dass ein solches$f$existierte. Stellen Sie sich nun drei Masseobjekte vor$m$, jeweils mit unterschiedlicher Geschwindigkeit:

Objekt$A$ist stationär. Seine kinetische Energie, bezeichnet$KE_A$, ist gleich$0$. Dies impliziert das$f(0)+f(0)+f(0)=0$, und deshalb$f(0)=0$.

Objekt B bewegt sich in der$x$Richtung mit Geschwindigkeit$v_x=\frac{3c}{5}$. Daher hat es kinetische Energie$KE_B = \frac{1}{4}mc^2$. Zusammen mit dem Ergebnis für Objekt A impliziert dies Folgendes$f(\frac{3c}{5}) = \frac{1}{4}mc^2$.

Objekt C bewegt sich in beiden$x$Richtung und die$y$Richtung. Seine Geschwindigkeitskomponenten sind$v_x=v_y=\frac{3c}{5}$. Seine Gesamtgeschwindigkeit ist$v = \sqrt{2}\frac{3c}{5}$. Wir haben:$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{18}{25}}} = \frac{5}{\sqrt{7}}$. Deshalb,$KE_C=\frac{5\sqrt{7}-7}{7}mc^2$. Allerdings muss das auch stimmen$KE_c = f(\frac{3c}{5}) + f(\frac{3c}{5}) = \frac{1}{2}mc^2$.

Da diese beiden Antworten unterschiedlich sind, haben wir einen Widerspruch.

QED

Ich denke, es wäre immer noch möglich, relativistische Komponenten in jeder Raumrichtung zu bestimmen. Man müsste die Relativgeschwindigkeiten kennen$\beta = \frac{v}{c}$wrt Licht für jede Richtung und multiplizieren Sie jede Komponente mit den x-, y- und z-Gammawerten.$\gamma = \frac{1}{\sqrt(1-\beta^2)}$

Obwohl Ricky Tensor völlig recht hat, verstehe ich die spezielle Relativitätstheorie gerne visuell durch Hyperbeln. Betrachten Sie dieses Raum-Zeit-Diagramm:

Die Steigung der grünen Linien repräsentiert die Lichtgeschwindigkeit. Der violette Pfeil stellt Ihre Bewegung über 1 Sekunde dar, wie Sie sie selbst wahrnehmen: Sie bewegen sich nicht. Der blaue Pfeil stellt dieselbe Bewegung dar, die von jemandem wahrgenommen wird, an dem Sie sich am Ursprung vorbeibewegen. In diesem Fall können Sie sehen, dass Ihre Geschwindigkeit, wie sie von diesem Beobachter gesehen wird, ungefähr ist$\frac35$von Lichtgeschwindigkeit.

Das Gesetz der speziellen Relativitätstheorie besagt, dass Ihre Verschiebung dieselbe rote Hyperbel (deren Asymptote die Lichtgeschwindigkeit ist) erreicht, unabhängig von Ihrer Geschwindigkeit relativ zum Beobachter. Umgekehrt muss jede Verschiebung, die an dieser Hyperbel endet, für die sich bewegende Person 1 Sekunde gedauert haben. Das nennen sie die "Eigenzeit" der Bewegung.

Gleichzeitig könnten Sie sich durch Ändern der Achsenbeschriftungen vorstellen, dass diese Pfeile Ihre "Raumzeitgeschwindigkeit" darstellen: Sie bewegen sich mit dem violetten Pfeil pro Sekunde Eigenzeit, wie Sie es selbst sehen, oder Sie bewegen sich mit dem blauen Pfeil pro Sekunde der Eigenzeit, wie sie von diesem anderen Beobachter gesehen wird. Das nennen sie die 4-Geschwindigkeit, weil sie zusätzlich zu den räumlichen eine zeitliche Komponente hat. In diesem Bild beträgt beispielsweise die von Ihnen selbst gesehene Zeitkomponente 1 Sekunde wahrgenommene Zeit pro 1 Sekunde Eigenzeit, während die vom Beobachter gesehene Zeitkomponente etwa 1,2 Sekunden Beobachterzeit pro 1 Sekunde Eigenzeit beträgt. Wir multiplizieren jedoch die Zeitkomponente mit der Lichtgeschwindigkeit, sodass sie wie die anderen Geschwindigkeitseinheiten hat. Die Zeitkomponente ist hier also eigentlich gerecht$c$für sich selbst bzw$1.2c$für den Beobachter.

Ohne Relativitätstheorie würden wir erwarten, dass der blaue Pfeil mit dem gleichen Zeitwert endet wie der violette, weil wir denken würden, dass die Zeit Ihrer Bewegung für alle gleich ist. Aber wie Sie sehen können, ist es in der Relativitätstheorie länger.

Ebenso ist die räumliche Komponente Ihrer 4er-Geschwindigkeit größer als Ihre normale Geschwindigkeit, weil die Entfernung gestreckt ist, aber die Eigenzeit immer noch 1 Sekunde beträgt.

Um nun relativistische Energie zu erhalten, multiplizieren Sie einfach die 4-Geschwindigkeit mit$mc$, und sehen Sie sich die Zeitkomponente an. Denken Sie für die violette 4-Geschwindigkeit daran, dass die Zeitkomponente ist$c$, das wird also zu$mc^2$. Aber für das Blau ist es etwas größer - tatsächlich stellt sich heraus, wenn Sie rechnen, dass es größer ist$\frac12mv^2$, zur ersten Bestellung . Und wirklich, deshalb nennen wir diese Zeitkomponente "Energie": denn für niedrige Geschwindigkeiten hat sie die gleiche Formel wie die Newtonsche kinetische Energie ... plus diesen merkwürdigen konstanten Offset von$mc^2$, die Einstein durch Assoziation erkannte, muss in der Masse selbst gebundene Energie sein!

Aber dieser Newtonsche Term ist nur die Annäherung erster Ordnung; für hohe Geschwindigkeiten müssen Sie zusätzliche Bedingungen hinzufügen. Und das liegt daran, dass die rote Kurve eine Hyperbel ist , KEINE Parabel. Es sieht einfach wie eine Parabel in der Nähe des Zentrums aus (niedrige Geschwindigkeiten).

Und um Ihre Frage zu beantworten, können Sie sehen, was passiert, wenn Sie weitere räumliche Dimensionen hinzufügen. Mit einer zweiten räumlichen Dimension wird die Hyperbel zu einem Rotationshyperboloid um die Zeitachse. Auch hier sieht es in der Nähe der Mitte wie ein Parabaloid aus, dessen Wert ist$mc^2 + \frac12mv^2$, und da$v^2 = v_x^2 + v_y^2$, können Sie die Komponentenbeiträge trennen. Das liegt eigentlich daran, dass die Querschnitte eines Paraboloids identische Parabeln mit unterschiedlichen Versätzen sind. Das Gleiche gilt jedoch nicht für ein Hyperboloid, daher ist die allgemeine (Hochgeschwindigkeits-) Formel nicht so trennbar.