Einige Berechnungen zum Energieverbrauch einer relativistischen Rakete

Ich glaube du hast die falsche Formel. Ich bin mir nicht sicher, ob ich alle Schritte verstehe, die Sie unternommen haben, um es abzuleiten.

Sie wollen einen Materie-Antimaterie-Motor. Dies erzeugt im Wesentlichen Photonen, die Sie in einem Prozess, der den 4-Impuls bewahrt, hinter Ihr Schiff schießen. Angenommen, Sie starten aus der Ruhe und beschleunigen. Wenn$m_0$ist die Anfangsmasse Ihres Schiffes,$m$ist die Endmasse und$E$ist die Energie des emittierten Lichts, durch Erhaltung des 4-Impulses haben wir:

$$m_0 c^2 = \gamma m c^2 + E$$ $$0 = \gamma m v -E/c$$ Die erste Gleichung drückt die Energieerhaltung aus, während die zweite die Impulserhaltung ausdrückt. Eliminieren $E$wir erhalten: $$\frac{m}{m_0}=\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}$$ oder mit Masse als Variable: $$v=c\frac{m_0^2-m^2}{m_0^2+m^2}$$ Das ist viel günstiger als eine Exponentialfunktion.

Sie machen wollen$m/m_0$so klein wie möglich. Die wirkliche Einschränkung beim Reisen ist, abgesehen vom eigentlichen Motor, den Sie bauen müssen, die Menge an Antimaterie, die Sie benötigen. Sagen Sie, Sie möchten ankommen$v=0.9c$und nehmen Sie an, dass die Masse der Rakete selbst konservativ ist$m\approx 1000 kg$. Wenn Sie den gesamten Kraftstoff verbrennen, benötigen Sie eine Kraftstoffmasse von:

$$m_f = \left(\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}-1 \right) m \approx 4400 kg$$ Daher benötigen Sie ungefähr zwei Tonnen Antimaterie.

Beachten Sie jedoch, dass dies nichts über die Zeit aussagt , die zum Erreichen dieser Geschwindigkeit benötigt wird.

BEARBEITEN: Einige Leute sind möglicherweise verwirrt darüber, warum andere Antworten unterschiedliche Formeln geben. Die allgemeinere Formel für die Raketenbewegung ist gegeben durch:

$$v=c\tanh{\left(\frac{I}{c}\log{\frac{m_0}{m}}\right)}$$ was auch in Bezug auf die Schnelligkeit formuliert werden kann $r=\tanh^{-1}(v/c)$. $I$wird als spezifischer Impuls bezeichnet. Im Fall eines Photonenantriebs, für den $I=c$, reduziert sich dies auf die Formel, die ich oben gebe. Beachten Sie, dass die allgemeine Formel schwieriger zu erhalten ist.

Du hast hier zwei Fehler gemacht.

Der erste Fehler ist, dass Sie nicht einfach Massenenergie in kinetische Energie umwandeln können, da dies ziemlich eindeutig gegen die Impulserhaltung verstößt. Das Verhältnis des abgegebenen Impulses zur Kraftstoffmasse wird als spezifischer Impuls bezeichnet und mit bezeichnet$I$. Beachten Sie, dass dies Geschwindigkeitseinheiten hat. Der höchstmögliche Wert für den spezifischen Impuls ist sogar im Prinzip$c$, wenn der Brennstoff direkt in Photonen umgewandelt werden kann, genau in die richtige Richtung.

Es kann gezeigt werden, dass die relativistische Raketengleichung gegeben ist durch:

$$\Delta r= \frac{I}{c}\ln\frac{m_0}{m}$$ Wo $r$ist die Schnelligkeit.

Mit dem bestmöglichen spezifischen Impuls bzgl$\gamma$, und unter der Annahme, dass es anfänglich in Ruhe ist, wird dies

$$\gamma=\cosh\ln\frac{m_0}{m}$$

Vorausgesetzt das Finale$\gamma$groß ist, vereinfacht sich dies zu

$$m_0=2\gamma m$$

Ihr anderer Fehler war in den Differentialen. Der zweite sollte es sein$dE=\gamma c^2 dm+mc^2 d\gamma$.

Das Problem bei diesem Ansatz ist die Annahme, dass die "verlorene" Ruhemasse der Rakete gleich der kinetischen Energie der Rakete ist. Davon kann man nicht ausgehen, nicht zuletzt weil der Auspuff auch kinetische Energie hat. Sie müssen wirklich zum grundlegenden Ansatz zurückkehren, indem Sie den Impuls im Rahmen erhalten, der sich immer vorübergehend mit der Rakete bewegt. Sie können mit so etwas wie dem von Ihnen vorgeschlagenen Ansatz arbeiten, aber Sie müssen die kinetische Energie des ausgestoßenen Kraftstoffs berücksichtigen und Sie müssen auch die Impulserhaltung berücksichtigen - diese zweite Gleichung sagt Ihnen, wie viel der ausgestoßenen Ruhemasse als kinetische Energie aufgewickelt wird der Rakete. John Baez erzählt die Geschichte eines ähnlichen Problems gut auf seiner Website(Suchen Sie nach "Relativistic Rocket John Baez", wenn der Link unterbrochen wird). Sehen Sie sich den Abschnitt „Wie viel Kraftstoff wird benötigt“ an. Er geht von der optimalen Bedingung aus, bei der die Abgase mit Lichtgeschwindigkeit ausgestoßen werden und eine perfekte Umwandlung von Kraftstoff in Licht erreicht wird. Ihre Situation ist etwas allgemeiner (keine Lichtgeschwindigkeit, kein Restmassenausstoß).

Lassen Sie uns im richtigen Rahmen der Rakete arbeiten. In dem momentan mitbewegten Trägheitsrahmen setzt die Rakete eine kleine Menge Treibstoff in Ruhemasse um$\delta\,m$in die Gesamtenergie des Auspuffs - Achtung: die Restmasse des Auspuffs$\delta\,m_e$unterscheidet sich von$m$weil ein Teil des Kraftstoffs zur Gesamtenergie beiträgt, die durch den Impuls des Abgases dargestellt wird. Die Gesamtenergie des Auspuffs ist$\sqrt{(\delta\,m_e)^2+(\delta\,p)^2}$(Ich arbeite mit$c=1$damit das heißt,$\delta\,m^2 = \delta\,m_e^2 + \delta\,p_e^2$(Ich arbeite mit$c=1$). In John Baez' Berechnung geht er also von einem Lichtstrahl als Auspuff aus$\delta\,m = \delta\,p_e$weil der Auspuff keine Ruhemasse hat. Im Allgemeinen haben wir eine Beziehung$\delta\,p_e = \kappa_e\,\delta\,m$, bei dem die$\kappa_e\leq 1$hängt vom ausgeschleuderten Partikelgemisch ab. Für eine vereinfachte Rakete nehmen wir einen gleichmäßigen Treibstoffverbrennungsprozess an, so dass$\kappa_e$wird als konstant angenommen und charakterisiert den Brennvorgang für die Zwecke dieser Aufgabe vollständig. Nochmal,$\kappa_e=1$für den Fall von John Baez mit lichtschnellem, restmasselosem Auspuff.

Wie in der Newtonschen Mechanik wenden wir einfach die Impulserhaltung auf den momentan mitbewegten Rahmen an, aber wir müssen die Zunahme der Geschwindigkeit durch die Zunahme der Schnelligkeit ersetzen. Dies liegt daran, dass sich die Geschwindigkeiten kollinearer Lorentz-Transformationen linear addieren und wir die Gesamtbewegungsänderung relativ zu unserem Anfangsframe als eine Zusammensetzung infinitesimaler Boosts (ich diskutiere diese Idee hier weiter) als einfache Summierung ( Integral ) berechnen möchten. Jetzt haben wir also die Differentialgleichung für die Schnelligkeit der Rakete relativ zu ihrem Anfangsrahmen:

$$m\,\mathrm{d}\eta = -\kappa_e \mathrm{d} m$$

so dass$\eta = -\kappa_e\,\log\left(\frac{m}{m_0}\right)$. Sie können dies dann in eine Gleichung für umwandeln$\gamma$Faktoren durch$\cosh\eta = \gamma$. Für groß$\gamma$, und für den perfekt effizienten Fall von Lightspeed-Auspuff ($\kappa_e=1$), wir haben$m_0\approx 2\,\gamma\, m$; das heißt, Sie brauchen eine Rakete, die konvertiert$\frac{1\,999}{2\,000}$seiner Masse zu erschöpfen und eine Nutzlast von haben$5\times 10^{-4}$seiner Anfangsmasse.

Man kann natürlich bei Geschwindigkeiten relativ zum Anfangsrahmen bleiben, aber das Integral wird viel komplizierter, um die Zeitdilatation auf dem Weg zu berücksichtigen.

Wenn Sie jetzt die Einschränkung hinzufügen, dass die richtige Beschleunigung vernünftig sein muss ( dh zum Beispiel für Menschen überlebensfähig), werden Sie eine schrecklich lange Zeit brauchen, um hoch zu kommen$\gamma$und große Entfernungen zurücklegen. Um zur Andromeda-Galaxie zu gelangen$1\,g$Beschleunigung liegt in der Größenordnung von$3\,000$Jahre.

Lesen Sie auch Abschnitt 6.2 von Misner Thorne und Wheeler „Gravitation“ für Hintergrundinformationen. Eine Schlüsselbeobachtung, die bei diesen Berechnungen nützlich ist, ist, dass die vier Geschwindigkeiten jedes Objekts immer die Minkowski-Einheitsnorm haben.