Bahnen innerhalb eines −r⃗ −r→-\vec{r}-Feldes

Nehmen wir an, wir haben eine Theorie der kalten dunklen Materie, also stellen wir uns schwach wechselwirkende Teilchen vor. Nehmen wir nun an, dass eines dieser Teilchen aus dunkler Materie eine seltene Wechselwirkung hat, während es durch den Erdmantel wandert. Stellen wir uns auch vor, dass diese Wechselwirkung dazu führt, dass das Teilchen den größten Teil seiner Energie im Bezugsrahmen der Erde verliert (ebenfalls selten, aber dennoch realistisch), sodass es energetisch nicht möglich ist, sich über die Oberfläche zu erheben. Da Interaktionen ziemlich unwahrscheinlich sind, kann es auch nicht aufhören, sich zu bewegen. Ist es dann richtig, sich vorzustellen, dass es für eine Weile im Zentrum der Erde "umkreisen" wird?

Wenn wir den Erdmittelpunkt in den Ursprung setzen und eine konstante Dichte annehmen, sollte das Feld, wie ich es verstehe, sein:

F → = − 4 3 G ρ π R →

Ich habe aus mehreren Quellen über die Folgen der Schwerkraft gelesen 1 / R P mit P ≠ 2 , das heißt, nicht umgekehrt quadratisch. Was würde in diesem Fall wo passieren P = − 1 ? Wird die Umlaufbahn periodisch sein? Oder wird seine Flugbahn im Laufe der Zeit nur ein großer Knoten sein?

Dieses Feld wird als isotroper harmonischer Oszillator bezeichnet
Verwandte: Satz von Bertrand .
@PeterKravchuk Ihr Link beginnt verlockend nahe am Thema mit F → = − k X → , aber ich konnte nirgendwo finden, dass dieses System tatsächlich adressiert wurde! Der Theorem-Link von Bertrant scheint die Frage in einem Unterabschnitt hier direkt zu beantworten: en.wikipedia.org/wiki/… Dies zeigt (ziemlich zufriedenstellend), wie das Problem in ein lineares harmonisches Oszillatorproblem umgewandelt werden kann.
Nun, mein Fehler, ich hatte gehofft, dass Wiki die Lösung für Ihren Fall hat, aber anscheinend nicht. Trotzdem ist es ein isotroper harmonischer Oszillator :)

Antworten (2)

Was Sie suchen, ist der Satz von Bertrand, der besagt, dass für das zentrale Kraftfeld in 1 / R P , nur P = 2 (Newtonsches Feld) und P = − 1 (harmonisches Feld) geben eine geschlossene Umlaufbahn, unabhängig von den Anfangsbedingungen (und vorausgesetzt, Sie sind an das Feld gebunden).

Sicherlich finden Sie einige Anfangsbedingungen, die geschlossene Bahnen ergeben (z. B. alle P ∈ [ − 1 ; 2 ] erhalten Sie geschlossene Kreisbahnen, wenn Sie die richtige Anfangsgeschwindigkeit in Norm und Richtung haben), aber P = 2 Und P = − 1 sind die einzigen, die für alle Anfangsbedingungen funktionieren. In diesen Fällen sind Standkurven aber Ellipsen P = 2 , liegt der Kraftmittelpunkt in einem der Brennpunkte der Ellipse, während z P = − 1 , es befindet sich im Zentrum der Ellipse.

Nur um zu zeigen, was außerhalb dieser beiden Spezialfälle passieren würde, ist hier eine Bahn berechnet für a 1 / R Feld ( P = 1 ), die man beim Reisen um eine Spiralgalaxie erlebt (und für die sogenannten Galaxienrotationskurven verantwortlich ist ). In diesem Fall gibt es keine geschlossene Umlaufbahn.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Nicht P = − 1 Passt das aktuelle Problem? (Ich war mir dieses Sonderfalls nicht bewusst, als ich die Frage stellte.) Das scheint die Frage zu beantworten, daher ist es verwirrend, dass Sie danach auf nicht periodische Umlaufbahnen zu zeigen scheinen.

Dieser Link beantwortet die Frage gut:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_theorem#Radial_harmonic_oscillator

Es umgeht einige der Schwierigkeiten, die Sie sonst bei dieser Klasse von Problemen hätten, indem es das Potenzial betrachtet, das eine Metrik des Quadrats des Radius ist, wodurch die Quadratwurzel eliminiert wird, die dann mit jeder Variablen isoliert werden kann.

v ( R ) = 1 2 k R 2 = 1 2 k ( X 2 + j 2 + z 2 )

Gelöst ist es wie folgt, wobei die z-Komponente weggelassen wurde, weil wir sie nicht brauchen.

X = A X cos ⁡ ( ω 0 T + ϕ X ) j = A j cos ⁡ ( ω 0 T + ϕ j )

Ist das eine Ellipse? Eine gültige Gleichung für eine Ellipse lautet:

X = A cos ⁡ ( ω T ) j = B Sünde ⁡ ( ω T )

Die Startzeit ist beliebig, daher können wir eine Konstante hinzufügen T um diese beiden Dinge dazu zu bringen, dieselbe Kurve zu sein, aber das allein scheint es nicht zu tun. Sie müssen den Graphen auch drehen, aber das fügt einen weiteren Freiheitsgrad hinzu und ermöglicht Ihnen wahrscheinlich, definitiv zu zeigen, dass alle diese Umlaufbahnen Ellipsen sind.

Hier ist eine Beispielgrafik.

Orbit

Sie werden feststellen, dass der Mittelpunkt der Ellipse am Ursprung liegt, und dies ist das CM der Erde in unserem Problem. Das unterscheidet sich von Planetenbahnen, bei denen sich das CM in einem Brennpunkt der Ellipse befindet. Offensichtlich ist auch die Geschwindigkeit beim Bewegen um diese Ellipse unterschiedlich. Hier (wie bei Planetenumlaufbahnen) wird es am schnellsten dem CM am nächsten sein. Während also die hochelliptischen Bahnen im leeren Raum, mit denen wir vertraut sind, einer Art Sturzflug-Stall-Muster folgen, folgt diese Art von Umlaufbahn eher einem Sturzflug-Stall-Sturzflug-Muster.

Du hast eine Phase in deinem Ausdruck vergessen j wenn Sie "eine gültige Gleichung für eine Ellipse" sagen: sollte es sein j = B cos ⁡ ( ω T + φ ) weil wenn φ = 0 , Sie erhalten nur eine Zeile ( j = B A X ).
@JJFleck ist richtig. Ich wollte eine parametrische sin/cos-Darstellung verwenden, war aber schlampig, als ich sie eingab. Das Ändern von Kosinus zu Sinus führt die erwähnte Phasenverschiebung ein.
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