Bandlücke vs. QM-Energieniveaulücke zwischen Elektronenorbitalen

Wenn ich das richtig verstehe, ist die Bandlücke (zwischen Leitungs- und Valenzband) auf die Quantisierung der Energie zurückzuführen.

Lassen Sie mich damit beginnen, den verbreiteten Glauben zu diskreditieren, dass es in der Quantenmechanik ausschließlich um Quantisierung geht. Das einfachste quantenmechanische System – ein freies Teilchen – weist überhaupt keine Quantisierung auf. Der Hamiltonoperator ist in diesem Fall nur die kinetische Energie$\hat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}$, mit kontinuierlichem Spektrum$E_{\boldsymbol{k}}=\frac{\hbar^{2}k^2}{2m}$von ebenen Wellenzuständen$\psi_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{r}\right)=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{3}{2}}}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}$. Der Begriff der Quantisierung ist in diesem Zusammenhang also vage und kann Bänder nicht erklären. Die Quantisierung erklärt jedoch andere Phänomene, wie diskrete Emissionslinien.

Was ich jetzt nicht verstehe, ist, dass die Bandlücke dieselbe ist wie die Lücken zwischen den verschiedenen Elektronenenergieniveaus um den Kern (das liegt auch an der Quantisierung der Energie).

Das Kernschalenmodell beschreibt also im Grunde die Lücken zwischen den verschiedenen Elektronenenergieniveaus, in denen das Elektron gemäß QM existiert.

Und dann ist da noch die Bandlücke zwischen Leitungs- und Valenzband.

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Zweitens hat das Problem eines Atoms nicht viel mit Energiebändern zu tun. Energiebänder treten auch auf, ohne überhaupt über Atome oder Elektronen zu sprechen. Bänder können sich allein durch ein periodisches Potential bilden, das ein freies Quantensystem stört.

Sie mischen im Wesentlichen zwei verschiedene Fragen, die ansonsten unabhängig voneinander sind

1. Warum sich Bands gründen.

2. Wie sich Elektronen in solchen Bändern verhalten.

Für (1) können sich Banden sogar für Systeme von Bosonen bilden. Ein Beispiel für solche Systeme sind Ensembles ultrakalter Atome in optischen Gittern. In diesen Experimenten werden Atome durch Strahlungskräfte auf extrem niedrige Temperaturen heruntergekühlt und dann in stehenden Wellen gefangen, die durch gegenläufige Lichtstrahlen erzeugt werden. Dies induziert ein periodisches Potential an den Atomen, was zu Energiebändern führt. Die gefangenen Atome können je nach Gesamtspin entweder zusammengesetzte Bosonen oder zusammengesetzte Fermionen sein, die völlig unterschiedliche Wirkungen zeigen.

Für (2) ist es einfach in der Natur passiert, dass feste Objekte ein solches periodisches Potential für die Elektronen erzeugen. Da die Elektronen Fermionen sind und dem Pauli-Ausschlussprinzip gehorchen, erhalten Sie Konzepte wie Valenz- und Leitungsbänder, Fermi-Niveau usw. . All dies, die gesamte Chemie und alles Leben – ist die Folge des Aufbaus von Elektronen, wenn sie Zustände besetzen. Aber das liegt nur daran, dass sie Fermionen sind. Sie bilden nicht die Bands. Sie leben nur dort.

Tatsächlich gibt es eine andere Art von Bändern, die sich in Festkörpern bilden. Gitterschwingungen können auch quantisiert werden, wodurch Energiequanten entstehen, die als Phononen bekannt sind. Die Dispersion solcher Phononen bildet ähnliche bandartige Strukturen (siehe das erste und dritte Bild rechts auf dieser Wikipedia-Seite ). Da Phonos jedoch Bosonen sind, haben Sie ein anderes Verhalten.

Der Grund, warum periodische Potentiale Bänder bilden, ist eine andere Frage. Das Modell fast freier Elektronen liefert eine einfache Erklärung dafür (wieder der Name Elektron, weil Elektronen in Festkörpern das interessierende Problem bei der Entwicklung dieser Theorien waren). Es gilt in Fällen, in denen das Potential im Vergleich zur kinetischen Energie schwach ist, so dass störungsbasierte Verfahren anwendbar sind. Die Idee ist, dass ein periodisches Potential diskrete Frequenzkomponenten enthält. Daher koppelt es Zustände$\psi_{\boldsymbol{k}}$Und$\psi_{\boldsymbol{k}^{\prime}}$nur für diskrete Werte von$\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^{\prime}$. Dadurch wird das kontinuierliche Energiespektrum ebener Wellen nur punktuell unterbrochen, wodurch Lücken im Kontinuum entstehen. Das folgende Bild veranschaulicht dies in einer Dimension.