Benötigen Sie Beratung zum Modell der dünnen Akkretionsscheibe

Ich bin Physiklehrer und baue ein einfaches Akkretionsscheibenmodell, um es Studenten in einem Astrophysikunterricht (Grundstudium) als Beispiel für physikalische Modellierung zu zeigen. Ich muss wissen, ob dieses Modell glaubwürdig genug ist und welche Referenzen es zu diesem Thema im Grundstudium gibt (ich habe noch nichts Nützliches gefunden).

Stellen Sie sich einen kugelförmigen Massenkörper vor M , ruhend am Ursprung. Ein dünner Ring (Scheibe) mit Gesamtmasse M dreht sich darum, mit Innenradius A und Außenradius B > A . Ich vernachlässige die Viskosität. Die Oberflächendichte der Scheibe σ ist die folgende (diese Wahl der Funktion gibt einfache Ausdrücke für mechanische Energie und Drehimpuls. Siehe unten):

(1) σ ( R ) = a R 3 2 ,
Wo A ≤ R ≤ B . Hinweis: Ich fühle mich bei dieser willkürlichen Wahl etwas unsicher, daher brauche ich Meinungen dazu . Die Masse der Scheibe ist somit:
(2) M = ∫ A B σ ( R ) 2 π R D R = 4 π a ( B − A ) .
Dies ergibt die Konstante a , was unten nützlich sein wird:
(3) a = M 4 π ( B − A ) .
Die mechanische Energie eines Teilchens auf einer Kreisbahn mit Radius R ist einfach das:
D E = D K + D U = − G M D M 2 R ,
Die gesamte mechanische Energie der Scheibe ist also leicht zu finden:
(4) E = ∫ D E = − ∫ A B G M 2 R σ ( R ) 2 π R D R = − G M M 2 A B .
Der Gesamtdrehimpuls der Scheibe ist:
(5) L = ∫ G M R D M = ∫ A B G M R σ ( R ) 2 π R D R = M 2 ( G M B + G M A ) .

Materieansammlung: Nun betrachte ich Materie, die von außen auf die Scheibe fällt. Ich fordere, dass der Drehimpuls (5) erhalten bleibt (Energie (4) bleibt nicht erhalten). Zum Zeitpunkt T = 0 , gibt es nur einen dünnen Ring aus Innen- und Außenradius B , Masse M 0 . Zum Zeitpunkt T > 0 , vergrößert sich der Ring zu einer Scheibe mit Innenradius A ( T ) während der Außenradius B bleibt gleich. Masse M ist nun eine Funktion der Zeit: M ⇒ M ( T ) ≥ M 0 . Die Erhaltung des Drehimpulses (5) ergibt diese Einschränkung für den Innenradius:

(6) A ( T ) = ( 2 M 0 − M ( T ) M ( T ) ) 2 B .
Beachte das A → 0 Wenn M → 2 M 0 . Das verwirrt mich etwas. Warum der Faktor 2?

Schließlich betrachte ich als einfaches Modell eine Masse, die linear mit der Zeit ansteigt: M ( T ) = M 0 ( 1 + λ T ) . Damit ergibt sich für die Akkretionsscheibe folgender Innenradius:

(7) A ( T ) = ( 1 − λ T 1 + λ T ) 2 B ≤ B .

Während der Drehimpuls dieses Modells erhalten bleibt und es keine Viskosität gibt, bleibt die Energie nicht erhalten, da Materie auf den zentralen Körper fällt. Die Massendichte (1) wurde gewählt, da sie einfache analytische Ausdrücke liefert (siehe Gl. (2), (4), (5) und (6)).

Ist dieses Modell nun realisierbar? Ist es "realistisch" oder zumindest überzeugend genug? Irgendwelche Referenzen für solche einfachen mechanischen Modelle?

Und wie lässt sich die Oberflächendichte (1) physikalisch rechtfertigen, ohne auf die mathematische Einfachheit der Ergebnisse zurückzugreifen?

Vielleicht möchten Sie den Studenten etwas Gelegenheit lassen, Ihr Modell zu validieren?
@JMLCarter, Sie haben nicht genug Wissen, um selbst herauszufinden, ob dieses Modell realisierbar ist oder nicht. Sie lernen. Und obwohl ich Physiklehrer bin, bin ich nicht Experte genug für echte Astrophysik und Akkretionsscheiben, um das selbst zu finden! :-(
Wie geht ein professioneller Physiker damit um, nicht genug zu wissen? Nun, vielleicht ist das eine andere Lektion für einen anderen Tag.
@JMLCarter, manchmal muss ein professioneller Physiklehrer gute Beispiele finden, die nicht in Büchern gezeigt werden, um einige komplizierte Themen vorzustellen. Wir müssen auch kreativ sein, und kein Physiker weiß alles in der Physik! (außer vielleicht Richard Feynman, aber er ist sowieso tot!).
@cham Sie unterrichten Studenten auf Ug- oder PhD-Niveau? Es scheint so.. :-)
Gerade beim Lesen der Wikipedia-Seite gibt es eine akzeptierte / A l P H A Scheibenmodell wie in Shakura und Sunyaev (1973)? Nun, das hängt von der Viskosität ab, ohne die die Drehimpulsübertragung anscheinend zu gering ist, um eine Anreicherung zu verursachen. Sie sollten den Buchstaben wahrscheinlich nicht verwenden / A l P H A und/oder bringen Sie Ihr Modell zumindest durch Einbeziehung der Viskosität auf den Stand von 1973?
@JMLCarter, der a Konstante ist nur eine vorübergehende Konstante. es kann durch (3) ersetzt werden, wenn Sie dies bevorzugen. Mit der Viskosität hat das nichts zu tun.
Dieses Modell ist völlig unrealistisch. Die Viskosität darf nicht vernachlässigt werden, wenn Sie eine Akkretionsscheibe wollen .
@RobJeffries, die Viskosität wird indirekt versteckt oder impliziert, da die Festplatte mit der Zeit wächst (function A ( T ) ). Die Teilchenbahn kann nicht genau keplersch sein, wenn M Und A mit der Zeit ändern.

Antworten (1)

Ich halte es für unklug, die Rolle der Viskosität in einer ernsthaften Diskussion über Akkretionsscheiben zu vernachlässigen. Die Viskosität ist vollständig verantwortlich für die Drehmomente, die den Drehimpuls in der Scheibe transportieren und die Ansammlung von Materie ermöglichen, was sie zu so effizienten Emittenten elektromagnetischer Strahlung macht, was der Hauptgrund ist, warum wir uns um sie kümmern.

Um die Rolle der Viskosität zu begründen, beginnen Sie mit einer Untersuchung von Gasringen in Kepler-Umlaufbahnen bei verschiedenen Radien. Sie stellen fest, dass die Winkelgeschwindigkeit mit dem Radius variiert, sodass jeder Ring in Bezug auf seine Nachbarn schert (im Gegensatz zur Starrkörperrotation).

Anstatt zu überlegen, was beim Hinzufügen von Masse passiert, ist es zunächst sinnvoll zu überlegen, wie die Übertragung des Drehimpulses dazu führt, dass sich Material mit einem Radius über einen Bereich von Radien ausbreitet, die sowohl größer als auch kleiner als der ursprüngliche sind. Wenn die keplersche Geschwindigkeitsstruktur weitgehend erhalten bleibt, ist das Nettoergebnis eine Übertragung von Drehimpuls auf Gas bei größeren Radien in der Scheibe, wodurch etwas Gas in Richtung Zentrum fallen kann. Hier ist eine gute Gelegenheit, eine Dimensionsanalyse anzuwenden. Für kinematische Viskosität v , und die Ausbreitung der Gasoberflächendichte als Diffusionsprozess behandelt wird, auf welcher Zeitskala Gas radial um eine Entfernung transportiert wird, die mit dem Radius vergleichbar ist R wo es angefangen hat? Antworten: R 2 / v

Wenn man sich überlegen möchte, was passiert, wenn man Masse hinzufügt, ist es ein guter Ausgangspunkt, den Kreisradius zu bestimmen, auf dem sich das Material zunächst absetzt, was der Umlaufbahn mit dem spezifischen Drehimpuls des einfallenden Materials, aber mit der geringsten Energie entspricht . Die Idee ist, dass die Energie schnell abgebaut wird, aber der Drehimpuls bleibt erhalten, bis die oben genannten viskosen Prozesse übernehmen.

Darüber hinaus denke ich, dass diese Vorlesungsunterlagen nützlich sein könnten, um Schlüsselkonzepte auf Bachelor-Ebene vorzustellen. Sie helfen unter anderem bei der Ableitung des Standards R − 3 / 4 Gesetz für die Temperatur der Scheibe bei großen Radien, was für die Erklärung ihrer sichtbaren Spektren entscheidend ist.

Was die Oberflächendichte betrifft, so stellt sich heraus, dass die Skalierung auch so ist R − 3 / 4 für die Radien, in denen die Temperatur durch dieses Gesetz beschrieben wird. Die vielleicht einfachste Erklärung, wie man das herleitet, findet sich in Kapitel 5 dieses Lehrbuchs , das fortgeschrittenen Studenten sicherlich zugänglich ist.

Ich weiß, dass die Viskosität in einer echten Akkretionsscheibe nicht vernachlässigt werden kann. Das obige Modell ist nur eine einfache (vereinfachte) Möglichkeit, klassische Physik auf Grundschulniveau zu machen, um das Thema einzuführen, und als Übung für die Schüler (Integrale und etwas physikalisches Denken).
Gibt es auch eine Möglichkeit, die Oberflächendichte zu rechtfertigen? σ ( R ) ∝ R − 3 2 ? Der Exponent − 3 2 ist nur insofern "besonders", als Gesamtenergie und Drehimpuls "hübsche" Ausdrücke sind (siehe (4) und (5)).
Ich verstehe, dass Sie die Dinge einfach halten wollen. Aber ohne Viskosität kann man nicht von einer Akkretionsscheibe sprechen. Ohne sie ist alles, was Sie haben, Materie in Kepler-Umlaufbahnen. Ich nehme an, Sie könnten über Drehimpulstransport sprechen, ohne das Wort Viskosität zu verwenden, aber das scheint unproduktiv. Der von Ihnen beschriebene Prozess, bei dem Material den Drehimpuls ändert, bei dem jedoch keine Viskosität vorhanden ist, ergibt keinen Sinn. Außerdem, wie gesagt, σ ∝ R − 3 / 2 ist nicht die richtige Skalierung, , R − 3 / 4 Ist. Um dies abzuleiten, sind eine Reihe von Einschränkungen erforderlich, einschließlich der Rolle der Viskosität
Vielleicht kann ich das anders sagen: Wenn Sie mit einem Materiering beginnen und den globalen Drehimpuls erhalten wollen, wobei die einzige äußere Kraft die Anziehungskraft des zentralen massiven Objekts ist, dann muss für jede Akkretion etwas Materie daraus entstehen Ring muss sich sowohl auf größere als auch auf kleinere Radien bewegen. Ihre Aussage, dass die größte radiale Umlaufbahn feststeht, kann nicht wahr sein. Wenn man darüber nachdenkt, wie der Drehimpulstransport tatsächlich abläuft, kann man dieses Problem vermeiden.
Ich habe den Außenradius fixiert, weil die Materie dort hinfällt (geometrische Beschränkung). Wenn B nicht festgelegt ist, habe ich dann zwei Variablen im Drehimpuls (5), und die Drehimpulserhaltung allein kann mich nicht beide finden lassen. Festsetzung B lass mich ausdrücken A als Funktion der Masse (Gleichung (6)). Und wie würden Sie vorschlagen, Viskosität in dieses Modell einzuführen und dabei die Dinge sehr einfach zu halten?
Ich habe dies mit der Diskussion versucht, wie die radiale Einströmzeitskala aus der Dimensionsanalyse in meiner geposteten Antwort abgeleitet werden kann. Darüber hinauszugehen und vor allem abzuleiten σ ∝ R − 3 / 4 , erfordert mehrere Algebrazeilen und einige zusätzliche physikalische Überlegungen, z. B. wie Wärme durch Strahlung transportiert wird. Es wird am besten in dem Lehrbuchkapitel dargestellt, auf das ich mich bezogen habe. Ich denke, ein Teil des Problems hier ist, dass Akkretionsscheiben von Natur aus 2D-Systeme sind. Vielleicht wäre Ihre Modellieranleitung besser bedient, wenn Sie mit einer 1D-Umgebung beginnen, z. B. einem einfachen Stern?
1D-Einstellung? Können Sie Ihrer Antwort eine Ableitung der Oberflächendichte in 1D oder 2D hinzufügen?
Entschuldigung für die Verwirrung, ich meinte ein völlig separates 1D-Problem, das nichts mit diesem Scheibenproblem zu tun hat, nur als alternatives und einfacheres System, um Ihren Schülern mathematische Modellierung vorzustellen - es würde nicht verwendet werden, um die Oberflächendichte in einer Akkretionsscheibe abzuleiten . Ich habe einen Link zu einem Text bereitgestellt, der das Oberflächendichtegesetz für die Scheibe ableitet; Wenn ich Zeit habe, werde ich es hier selbst eingeben, obwohl es angesichts der Länge vielleicht besser ist, die Referenz zu konsultieren.
Zumindest ist mein Exponent negativ, wie deiner (mit zunehmender Entfernung abnehmende Oberflächendichte) und nicht umgekehrt. Ich hatte recht, keine Konstante zu wählen σ (einheitliche Dichte) oder eine lineare Variation oder das Schlimmste.
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