Berechnung des Stroms durch eine Induktivität

Question

Berechnung des Stroms durch eine Induktivität

Addison

Ich arbeite an meiner Schaltungsanalyseklasse und bin auf ein interessantes Problem gestoßen. Ich werde es unten zusammen mit meiner Arbeit einfügen und dann das Problem erklären. Nillson Riedel Electrical Circuits 9. Auflage

Der Strom durch die $L=100\,mH$ Induktor in der folgenden Abbildung ist $i=2(2−e^{−\frac{t}{100}}) \, mA$ . Verwenden Sie das Integral der Leistung, um die in der Induktivität gespeicherte Anfangsenergie bei zu finden $t=0$ .

Mit der Formel $W = \dfrac{1}{2}L\,i^2$ , du erhältst $W = 0.5 \times 0.1 \times (0.002)^2 = 200\,nJ$ von Energie. Dies stellt sich als die richtige Antwort heraus, aber aus Spaß habe ich beschlossen, es auf lange Sicht zu tun.

\begin{aligned} P & = L \frac{D ich}{D T} ich \\ ich & = 0,004 - 0,002 e^{- \frac{T}{100}} \\ \frac{D ich}{D T} & = 2 \times 10^{- 5} e^{- \frac{T}{100}} \\ L & = 0,1 \end{aligned}

$\begin{align*} P &= L \dfrac{di}{dt} i \\[1 em] i &= 0.004 - 0.002 \, e^{-\frac{t}{100}} \\[1 em] \dfrac{di}{dt} &= 2 \times 10^{-5} \, e^{-\frac{t}{100}} \\[1 em] L &= 0.1 \\[1em] \end{align*}$

Vereinfacht erhält man:

\begin{aligned} P & = 8 \times 10^{- 9} e^{- \frac{T}{100}} - 4 \times 10^{- 9} e^{- \frac{T}{50}} \end{aligned}

$\begin{align*} P &= 8 \times 10^{-9} e^{-\frac{t}{100}} - 4 \times 10^{-9} e^{-\frac{t}{50}} \\[1em] \end{align*}$

Durch Integrieren von P in Bezug auf t erhalten Sie die Gesamtarbeit:

\begin{aligned} W & = - 8 \times 10^{- 7} e^{- \frac{T}{100}} + 2 \times 10^{- 7} e^{- \frac{T}{50}} \end{aligned}

$\begin{align*} W &= -8 \times 10^{-7} e^{-\frac{t}{100}} + 2 \times 10^{-7} e^{-\frac{t}{50}} \\ \end{align*}$

Einstecken $t=0$ , du erhältst $-600\,nJ$ anstatt $200\,nJ$ .

Warum liefert die längere Methode eine andere Antwort? Vernachlässige ich etwas?

Antworten (3)

Berechnung des Stroms durch eine Induktivität

Höhlenmensch · Answer 1

Du berechnest nicht, was du denkst. Normalerweise würden Sie bestimmte Integrale verwenden, um die Arbeit zu sehen, die über einen bestimmten Zeitraum geleistet wurde. Ein unbestimmtes Integral macht nicht wirklich viel physikalischen Sinn.

Die ursprüngliche Gleichung der Energie in einem Induktor kann als Integral der Leistung abgeleitet werden, die benötigt wird, um in einer gewissen Zeit T von einem 0-Strom auf den Endstrom I zu gelangen:

$Energy Stored = \int^T_0{P\cdot dt} = \int^I_0{L i'di'} = \frac{1}{2}LI^2$

Hier gibt es eine wichtige Lektion. Dies ist mit allgemeinen Variablen lösbar. Dies ist möglich, weil es egal ist, wie man zu einem Strom von I kommt, die gleiche Energie muss investiert werden, um dorthin zu gelangen.

Wenn Sie auf eine verrückt komplizierte Weise von 0 A auf 3 A auf 2 A auf 5 A gehen, ist die verbrauchte Energie die gleiche, als ob Sie in 1 Sekunde linear von 0 A auf 5 A gehen würden.

Wenn dies nicht wahr wäre, würde es keinen Sinn machen, von der Energie zu sprechen, die in einem Induktor "bei einem bestimmten Strom" gespeichert ist. Man müsste wissen, wie man dorthin gekommen ist, um die Antwort zu wissen.

Ich habe die Tatsache berücksichtigt, dass das Integral unbestimmt und nicht nützlich ist. Aber wenn t = 0 ist, erhalten Sie den oberen und unteren Parameter, um gleich zu sein, was null sein sollte. Wie funktioniert das? Offensichtlich ist es in Ihrer Gleichung di anstelle von dt auf der rechten Seite, aber die linke Seite ist die Leistung, die von 0 bis 0 berechnet wird, was 0 sein sollte, richtig?
Das bestimmte Integral sagt Ihnen die Energieänderung zwischen der oberen und unteren Zeit. Wenn oben und unten gleich sind, erhalten Sie eine Antwort von 0, was sinnvoll ist, da Sie nichts getan haben, um die Energie zu ändern.

riorax · Answer 2

Um das bereits Gesagte zu erweitern. Ein richtiger Weg ist die Verwendung eines bestimmten Integrals, aber es gibt Ihnen nur die Änderung der Energie. Sie können auch unbestimmte Integrale richtig verwenden, die Sie in eine Integrationskonstante einfügen müssen. Die Integration liefert Ihnen immer noch nicht die absoluten Werte für die nachintegrierte Funktion. Das ist das Wesen der Integration.

Wie findet man also die genaue Funktion, die absolute Werte liefert – eine Möglichkeit besteht darin, eine Anfangsbedingung anzuwenden, um die Konstante festzulegen. Zum Beispiel, $E(t=0) = 200nJ$ wäre eine vollkommen gute Anfangsbedingung. Aber offensichtlich wird dies nicht helfen, sich selbst zu überprüfen.

Alternativ können Sie eine andere Randbedingung anwenden. Zum Beispiel bei $t = \infty$ um die Integrationskonstante festzulegen. $E(t = \infty)$ ist ziemlich einfach herauszufinden, aber Sie würden dieselbe Gleichung verwenden $E = \frac12LI^2$ .

Beachte das außerdem $E_{coil}(0) + E_{change}\biggr |_0^\infty = E_{coil}(\infty)$ . Der zweite Term wäre das bestimmte Integral. So fügt sich alles konfliktfrei zusammen.

Ambiorix · Answer 3

Sie berechnen das unbestimmte Integral, während Sie das bestimmte Integral berechnen müssen. Wie Sie in Ihrem Kommentar betont haben, würde dies zu 0J führen. Der fehlende Teil ist die Konstante in der Berechnung des Integrals, die genau die Energie ist, die bei t(0) aufgrund der durch die Spule fließenden 2 mA gespeichert wird. Diese ist bei der Differenzierung in Ihrer zweiten Zeile verloren gegangen.

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