Besseres Verständnis der Faktoren auf ClClC_l im Winkelleistungsspektrum und Beziehung zum Leistungsspektrum der Materie

Question

Besseres Verständnis der Faktoren auf ClClC_l im Winkelleistungsspektrum und Beziehung zum Leistungsspektrum der Materie

Kosmos
Spektren
Kosmologie
Kosmologische Inflation
kosmischer Mikrowellen-Hintergrund

youpilat13

Ich suche nach einer Erklärung zum Winkelleistungsspektrum. Ich fand diesen Auszug, der für mich interessant, aber nicht vollständig verstanden ist (ich werde den Schritt zitieren, den ich nicht verstanden habe)

„Wir nehmen die Karte des CMB-Himmels und führen darauf eine sphärische harmonische Transformation durch. Eine sphärische harmonische Transformation ist im Grunde das gleiche allgemeine Konzept wie eine Fourier-Transformation, aber die sphärischen Harmonischen sind auf der Oberfläche von a orthogonal zueinander Kugel, etwa so:

F (θ, ϕ) = \sum_{l M} A_{l M} Y (θ, ϕ)_{l}^{M}

$f(\theta, \phi)=\sum_{l m} a_{l m} Y(\theta, \phi)_{l}^{m}$ Dabei bezeichnet der „I“-Index die Anzahl der Schwingungen und der „m“-Index ist eine Möglichkeit, die Schwingungsrichtung auf der Kugel zu codieren und variiert von „-l“ bis „I“. Zum Beispiel,

I = 0

$I=0$ ist Nulloszillation: Dies ist der Monopol, der die Gesamtskala festlegt.

I = 1

$I=1$ ist ein Dipol: eine volle Schwingung über der Kugel, und es gibt drei mögliche Richtungen

(x, y

$(x, y$ , Und

z)

$z)$ . Gehen Sie zu immer höheren I-Werten, und Sie erhalten mehr (und daher kleinere) Schwingungen und mehr mögliche Richtungen für diese Schwingungen. Die Art, wie sie typischerweise geschrieben werden, sind die sphärischen harmonischen Funktionen

Y (θ, ϕ)_{l}^{M}

$Y(\theta, \phi)_{l}^{m}$ komplexe Funktionen sind und die Koeffizienten daher komplex sind. Dies ist jedoch ein kleines Problem. Um das Leistungsspektrum aufzubauen, mitteln wir über Richtungen. Dies geschieht wie folgt:

C_{l} = \frac{1}{2 l + 1} \sum_{M = - l}^{l} A_{l M} A_{l M}^{*}

$C_{l}=\frac{1}{2 l+1} \sum_{m=-l}^{l} a_{l m} a_{l m}^{*}$

Schließlich können Sie beim Erstellen dieses Grundstücks feststellen, dass die vertikale Achse dies nicht ist

C_{l} l

$C_{l} l$ sondern ist stattdessen $C_{l} l (l + 1) / 2 π$ $C_{l} l(l+1) / 2 \pi$ Es stellt sich heraus, wenn wir ein Leistungsspektrum hatten, das in einem logarithmischen Intervall in I einheitlich war, dann multipliziert man diese Funktion mit $l (l + 1) / 2 π$ $l(l+1) / 2 \pi$ würde uns eine Konstante geben. Somit erlaubt uns diese Multiplikation, die Funktion leichter zu interpretieren, weil die Inflation vorhersagt, dass das ursprüngliche Leistungsspektrum, das ursprünglich durch die Inflation erzeugt wurde, in diesem Raum nahezu eine Konstante wäre.

Wenn die Inflation wahr ist, dann stammen alle Merkmale, die Sie in einem wie oben geschriebenen Leistungsspektrum sehen, das von einer Konstante abweicht, aus der Dynamik des Universums zwischen Inflation und der Emission des Urknalls (plus einige sehr geringfügige Änderungen zwischen uns und der KMB). Beispielsweise rührt der lange Dämpfungsschwanz bei hohem I von der Tatsache her, dass die Emissionsoberfläche des CMB nicht augenblicklich ist: Der Phasenübergang von einem Plasma zu einem Gas erfolgte im Laufe der Zeit, und die resultierende Unschärfe des Signals dämpft die kleine Skalenschwankungen. Es gibt auch das Verhältnis zwischen den geraden und ungeraden Spitzen des Leistungsspektrums. Dies liegt an den Unterschieden in der Physik zwischen normaler Materie und dunkler Materie: Dunkle Materie fällt einfach in Potentialtöpfe, während normale Materie abprallt.

1) Erstes Problem:

Was ich nur schwer verstehen kann, ist die Bedeutung von "vertikaler Achse" nicht:

C_{l} l

$C_{l} l$ sondern ist stattdessen

C_{l} l (l + 1) / 2 π

$C_{l} l(l+1) / 2 \pi$

Was bedeutet "vertikale Achse" in diesem Zusammenhang? Wie kann man das beweisen?

2) Zweites Problem:

Und nachdem sie sagen: "Es stellt sich heraus, wenn wir ein Leistungsspektrum hatten, das in einem logarithmischen Intervall in I einheitlich war, dann multiplizieren Sie diese Funktion mit

l (l + 1) / 2 π

$l(l+1) / 2 \pi$ würde uns eine Konstante geben. Diese Multiplikation ermöglicht es uns also, die Funktion leichter zu interpretieren, da die Inflation vorhersagt, dass das ursprüngliche Leistungsspektrum, das ursprünglich durch die Inflation erzeugt wurde, in diesem Raum nahezu eine Konstante wäre.

Ich verstehe nicht, mit welchem Trick das Produkt hergestellt werden soll

l (l + 1) / 2 π

$l(l+1) / 2 \pi$ konstant sein. Es ist sehr störend, da das Winkelleistungsspektrum beispielsweise beim Winkelspektrum von CMB nicht konstant ist.

3) Nur eine Präzisierung:

in einem Link meines vorherigen Posts ( vorheriger Link ) Warum sagt der Schreiber "Wie schreibe ich das 3D-Leistungsspektrum, $P_{k}$ , als Integral des Winkelleistungsspektrums, $C_{\ell}$ ?", während es von einem anderen Autor nicht die direkte Beziehung zwischen dem Winkelleistungsspektrum und dem Materieleistungsspektrum ist.

Übrigens, könnte jemand die vollständige Formel schreiben, die diese beiden Größen verknüpft ( $C_{\ell}$ Und $P_k$ ) ?

Ich wäre dankbar, da ich ein wenig verwirrt bin zwischen Winkelkorrelationsfunktion und Materieleistungsspektrum und sphärischen Bessel-Funktionen.

Wenn mir jemand Erläuterungen zu diesen 2 Punkten geben könnte, wäre ich dankbar.

Antworten (1)

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die falsche Alice · Answer 1

Ich denke, ich kann Ihre erste/zweite Frage irgendwie beantworten . Es ist ein bisschen schwer zu erraten, was Ihr Hintergrund ist, aber ich hoffe, Sie haben das irgendwo gesehen oder abgeleitet $a_{lm}$ Koeffizienten können geschrieben werden als

\oint Θ (\hat{X}) Y_{l M}^{*} (\hat{X}) D \hat{X}

$\oint \Theta(\hat{x}) Y_{lm}^*(\hat{x}) d\hat{x}$ Wo

Θ

$\Theta$ ist die Temperaturschwankung (wie im CMB zu sehen) und

Y_{l m}^{*}

$Y_{lm}^*$ ist (das komplexe Konjugat von) eine sphärische Harmonische. Beachten Sie, dass

\vec{x} = (θ, ϕ)

$\vec{x} = (\theta, \phi)$ ,

\hat{x}

$\hat{x}$ ist der Einheitsvektor parallel zu

\vec{x}

$\vec{x}$ Und

\hat{k}

$\hat{k}$ ist der Einheitsvektor parallel zu

\vec{k}

$\vec{k}$ .

k

$k$ ist die Länge von

\vec{k}

$\vec{k}$ . In der Kosmologie gibt es einen Effekt namens Ordinary Sachs-Wolfe-Effekt, der mit der Rotverschiebung der Blauverschiebung aufgrund von Materieüberdichten zu tun hat. In dieser Theorie finden Sie einen Ausdruck für

Θ

$\Theta$ welches ist

Θ = \frac{1}{3} Φ = \sum_{k} \frac{1}{3} Φ_{k} e^{ich \vec{k} \cdot \vec{X}}

$\Theta = \frac{1}{3}\Phi = \sum_k \frac{1}{3}\Phi_k e^{i\vec{k}\cdot \vec{x}}$ Wo

Φ

$\Phi$ ist das Bardeen-Potential. Sie können diesen Ausdruck in die Gleichung für einsetzen

a_{l m}

$a_{lm}$ und dann können Sie die Expansion einer ebenen Welle verwenden, die so geht:

e^{ich \vec{k} \cdot \vec{X}} = 4 π \sum_{l M} {ich}^{l} J_{l} (k X) Y_{l M} (\hat{X}) Y_{l M}^{*} (\hat{k})

$e^{i\vec{k}\cdot \vec{x}} = 4\pi\sum_{lm} i^l j_l(kx) Y_{lm}(\hat{x})Y_{lm}^*(\hat{k})$ Also dann bekommst du

A_{l M} = \frac{4 π}{3} \sum_{k} Φ_{\vec{k}} \sum_{l M} {ich}^{l} Y_{l^{'} M^{'}}^{*} (\hat{k}) J_{l^{'}} (k X) \oint Y_{l M}^{*} (\hat{X}) Y_{l^{'} M^{'}} (\hat{X}) D Ω

$a_{lm} = \frac{4\pi}{3}\sum_k \Phi_\vec{k} \sum_{lm} i^l Y_{l'm'}^*(\hat{k}) j_{l'}(kx)\oint Y_{lm}^*(\hat{x}) Y_{l'm'}(\hat{x}) d\Omega$ Aufgrund der Orthonormalität der sphärischen Harmonischen wird dies

A_{l M} = \frac{4 π}{3} {ich}^{l} \sum_{k} Φ_{\vec{k}} J_{l} (k X) Y_{l M}^{*} (\hat{k})

$a_{lm} = \frac{4\pi}{3}i^l \sum_k \Phi_\vec{k} j_l(kx) Y_{lm}^*(\hat{k})$

Vielleicht sind Sie auch schon auf den Ausdruck für die gestoßen $C_l$ :

C_{l} = \frac{1}{2 l + 1} \sum_{M} E [| A_{l M} |^{2}]

$C_l = \frac{1}{2l + 1}\sum_m E[|a_{lm}|^2]$ was aufgrund des oben Gesagten proportional ist

C_{l} \propto \frac{1}{2 l + 1} \sum_{M} \sum_{k k^{'}} E [Φ_{\vec{k}} Φ {\vec{k}}^{'}] J_{l} (k^{'} X) J_{l} (k X) Y_{l M}^{*} (\hat{k}) Y_{l M} ({\hat{k}}^{'})

$C_l \propto \frac{1}{2l + 1}\sum_m \sum_{kk'} E[\Phi_\vec{k} \Phi{\vec{k}'}] j_l(k'x) j_l(kx) Y_{lm}^*(\hat{k}) Y_{lm}(\hat{k}')$ E[ ] ist die Kovarianzmatrix. Wenn

Φ_{\vec{k}}

$\Phi_\vec{k}$ ist also eine Zufallsvariable

E [Φ_{\vec{k}} Φ_{\vec{k^{'}}}] \propto k^{n - 4} δ_{k k^{'}}

$E[\Phi_\vec{k} \Phi_\vec{k'}] \propto k^{n - 4}\delta_{kk'}$ Ich bin mir nicht sicher, wie ich das schnell zeigen soll. Ich fürchte, Sie brauchen einige Ableitungen, um an diesen Punkt zu gelangen. Es folgt zum Teil aus der Annahme eines Leistungsspektrums der Form

P (k) \propto k^{n}

$P(k) \propto k^n$ . Mit dieser finden Sie

C_{l} \propto \sum_{k} k^{N - 4} J_{l} (k X)^{2} \to \int_{0}^{\infty} k^{N - 2} J_{l} (k X)^{2} D k

$C_l \propto \sum_k k^{n - 4}j_l(kx)^2 \rightarrow \int_0^\infty k^{n - 2} j_l(kx)^2 dk$ wenn wir die Summe durch ein Integral approximieren. Für ein Harrison-Zel'dovich-Spektrum, das eine spezielle Art von Leistungsspektrum ist, definiert als

P (k) \propto k

$P(k) \propto k$ (also n=1), dies wird

C_{l} \propto \int_{0}^{\infty} J_{l} (k X)^{2} \frac{D k}{k} = \frac{1}{2 l (l + 1)}

$C_l \propto \int_0^\infty j_l(kx)^2 \frac{dk}{k} = \frac{1}{2l(l + 1)}$ also im Fall eines Harrison-Zel'dovich-Spektrums die Menge

l (l + 1) C_{l} / 2 π

$l(l + 1)C_l/2\pi$ ist für den gewöhnlichen Zachs-Wolfe-Effekt konstant. Sie setzen

l (l + 1) C_{l} / 2 π

$l(l + 1)C_l/2\pi$ auf der y-Achse, um diesen Effekt leicht zu erkennen, nehme ich an.

Ich würde mich sehr über eine ausführliche Antwort auf Ihre letzte Frage freuen.

Vielen Dank für Ihre Hilfe, es ist nett von Ihrer Seite, eine detaillierte Antwort zu geben. Ich warte ebenso wie Sie auf eine mögliche Antwort auf meine letzte Frage. Mit freundlichen Grüßen
1) Könnten Sie bitte alle ersetzen $x$ variabel durch $\theta$ Für mehr Sichtbarkeit und Klarheit: Entschuldigung, ich möchte nicht langweilig sein, aber dies dient der Bequemlichkeit 2) der $k$ ist die Wellenzahl, geht es uns gut? Vielen Dank im Voraus. Mit freundlichen Grüßen
@ youpilat13, ja k ist die Wellenzahl. Es ist eigentlich ein Vektor, und x ist es auch, also beziehe ich mich jedes Mal, wenn Sie sie multipliziert sehen, auf ein Skalarprodukt wo $\vec{x} = (\theta, \phi)$
Nur eine letzte Präzisierung: wenn Sie schreiben $j_l(kx)^2$ , wie kann ich das verstehen? : ist es gleich zu schreiben $j_l(k\theta)^2$ oder $j_l(k\phi)^2$ ? Grüße
@ youpilat13 Entschuldigung, ich habe mich vielleicht ein wenig mit meiner eigenen Notation verwirrt. Ich habe meine Kosmologie-Notizen überprüft und jetzt alle richtigen Symbole hinzugefügt. Ich hoffe, das klärt die Verwirrung etwas auf.
Entschuldigung, es scheint, dass ich verwirrt bin, weil ich Ihre Notationen nicht verstehe. Wenn Sie die Variablen überall ersetzen könnten $\theta$ Und $\phi$ anstatt $\vec{x} = (\theta, \phi)$ , , gibt es Schritte, bei denen dies mehrdeutig ist, insbesondere bei den Bessel-Funktionen $j_l(kx)^{2}$ . Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir diesen Gefallen tun könnten. Mit freundlichen Grüßen
.Es ist Ihnen nicht möglich, alle Gleichungen mit zu schreiben $\theta$ Und $\phi$ Variablen? Tut mir leid, das ist für meine Bequemlichkeit, ich will nicht langweilig sein.

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