Beweisen Sie ¬∃x ∀y (E(x, y) ↔ ¬E(y, y)) ohne Prämissen

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die einzige Möglichkeit, die mir einfällt, um dieses Problem zu lösen, ist reductio, aber da die beiden bikonditionalen Terme nicht widersprüchlich sind, stecke ich ziemlich fest.

Dürfen Sie das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten anwenden?
Ich denke, Sie führen eine existenzielle und universelle Eliminierung auf Ihrer Reduktionsprämisse durch und erreichen einen Widerspruch

Antworten (3)

Riecht wie Russells Paradox ...

Wie auch immer, ja, Sie hatten völlig die richtige Idee: Beweis durch Widerspruch! Und die beiden Bedingungen widersprechen sich, solange Sie sie mit derselben Konstante a instanziieren:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

E(x,y) <-> ¬ E(y,y) ist eindeutig falsch, wenn x und y gleich sind, denn dann wird die Aussage E(x,x) <-> ¬ E(x,x).

Was auch immer wir für x wählen, E(x,y) <-> ¬ E(y,y) gilt nicht für alle y, weil es nicht für y = x gilt.

Das ist nur in der klassischen Logik richtig; Siehe die Diskussion unter meiner Antwort.

Hier ist ein Beweis mit dem Gesetz des ausgeschlossenen Dritten. Nachdem Sie den Existenzquantor eliminiert haben, um x zu erhalten , wenden Sie die universelle Quantifizierung auf x selbst an, um E(x,x) ↔ ¬E(x,x) zu erhalten. Dies ist falsch, wenn E(x,x) wahr oder falsch ist.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

In Coq:

Variable P : Prop -> Prop -> Prop.
Axiom LEM : forall p, p \/ ~p.

Goal ~exists x, forall y, (P x y -> ~P y y) /\ (~P y y -> P x y).
intro.
elim H.
intros.
assert (P x x \/ ~P x x) by apply LEM.
elim H1; intro.
apply H0 with x; assumption.
apply H0 with x; apply H0; assumption.
Qed.
Es ist unklar, ob "keine Prämissen" kein Gesetz des ausgeschlossenen Dritten bedeutet. Wenn ja, entferne ich diese.
Da Sie LEM ohne Prämissen beweisen können, könnten Sie immer mit diesem Beweis beginnen und die Bedingungen der Frage erfüllen.
@Dennis LEM hält sich nicht an die intuitionistische Logik.
Ich ging davon aus, dass OP in einem klassischen System arbeitet. Da die meisten intrologischen Bücher ein solches System annehmen, scheint es wahrscheinlich, aber Sie haben Recht, dass es kein intuitionistisch gültiger Beweis wäre.
Beweisen Sie ¬∃x ∀y (E(x, y) ↔ ¬E(y, y)) ohne Prämissen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v