Das Auffinden der in einer Kugelschale gespeicherten Energie, aber das Integral divergiert

Ich versuche, die Energie zu finden, die beim Zusammenbau einer Kugelschale gespeichert ist (bezeichnet mit S ) uniformiert von der Gesamtladung verteilt Q , und Radius R . Dazu möchte ich die Formel verwenden:

W = 1 2 ϵ 0 ∫ S σ v D A

Das Problem tritt auf, wenn ich versuche zu rechnen v . Verwenden Sie das Gaußsche Gesetz, um zu finden E und dann v , das ist leicht zu sehen v = Q 4 π ϵ 0 R auf der Kugeloberfläche. Aber wenn ich versuche zu rechnen v Bei Verwendung einer Integralmethode divergiert das Integral. Die Formel für v Ist

v = 1 4 π ϵ 0 ∫ S σ | R → − R → ' | D A '

Wo R → ist der Standort von ρ Und R → ' ist die Position der anderen Ladungen, die sich auswirkt ρ . Man sieht, dass dieses Integral divergiert, was sinnvoll ist, weil wir von einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ausgehen, also | R → − R → ' | → 0 .

Ich verstehe nicht, warum das so ist? Mit dieser integralen Methode sollten wir immer noch zu derselben Antwort kommen wie mit der Methode des Gaußschen Gesetzes. Könnte jemand bitte erklären, warum dies nicht funktioniert / oder eine Möglichkeit, dieses Problem zu umgehen?

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Das Integral divergiert nicht. Obwohl |r − r′|→0, D A ' = Sünde ⁡ ( θ ) D θ D ϕ Ansätze 0 sowie. Unter Verwendung von Kugelkoordinaten mit dem Punkt, an dem das Potenzial bewertet wird, am Nordpol platziert, erhalten wir:

∫ 0 2 π ∫ 0 π Sünde ⁡ ( θ ) D θ D ϕ 2 − 2 cos ⁡ ( θ ) = 4 π

Dein Recht! Mein Fehler, ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich das vermasselt habe. Ich habe das Quadratwurzelzeichen vergessen, wenn ich den Kosinussatz auf |rr'| verwende. Ich habe darüber nachgedacht, diesen gesamten Beitrag zu löschen, aber vielleicht ist es für andere nützlich, die es auch versehentlich vergessen. Danke für die Antwort.

Wir wissen, dass das elektrische Feld innerhalb einer gleichmäßig geladenen Kugelschale Null ist, weil alle Ladungen auf der Außenfläche liegen. dh,

E → ich N = 0
Und
E → Ö u T = Q 4 π ϵ Ö R 2 R ^

In der Kugelschale gespeicherte elektrostatische Energie ist:

U = 1 2 ϵ Ö ∭ v E 2 D τ

U = 1 2 ϵ Ö ∭ v E ich N 2 D τ ⏟ 0 + 1 2 ϵ Ö ∭ v E Ö u T 2 D τ

U = 1 2 ϵ Ö ∭ v E Ö u T 2 D τ

= 1 2 ϵ Ö ∭ v ( Q 4 π ϵ Ö R 2 ) 2 4 π R 2 D R

= 1 2 ϵ Ö ( Q 4 π ϵ Ö ) 2 × 4 π ∫ R ∞ 1 R 2 D R

U = Q 2 8 π ϵ Ö R

Das Auffinden der in einer Kugelschale gespeicherten Energie, aber das Integral divergiert
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