Delta-v-Budgets und modifizierte Schwerkraft

Ich baue eine Soft-Sci-Fi-Welt, in der die Schwerkraft etwas anders funktioniert: Die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft fällt mit einer Rate ab, die viel größer ist als unser umgekehrtes Quadrat; und die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft "kippt" und oszilliert in regelmäßigen Abständen und wird eher abstoßend als anziehend und umgekehrt (ähnlich wie MOND , aber in kleineren planetarischen Maßstäben).

Die Beschleunigung$g$Die Erfahrung eines Objekts mit vernachlässigbarer Masse kann modelliert werden mit:

$g\approx Se^{-\lambda du}\cos(du+\phi )$

Wo

• $S$- Gravitationsbeschleunigung auf einer Planetenoberfläche ¹ (in$m/s^{2}$),
• $\lambda$- dimensionslose Zerfallskonstante (beschreibt, wie allmählich der Kraftabfall ist),
• $d$- Abstand von der Oberfläche in Metern,
• $u$- Skalarkonstante ² (wandelt Meter in Bogenmaß um),
• $\phi$- Phasenwinkel, fast immer Null und kann ignoriert werden.

^{1 Wenn Sie der Mathematik folgen, oszillieren die Gravitationskräfte unter der Oberfläche mit exponentiell größeren Magnituden, was einen Planeten offensichtlich in Stücke reißen würde. Die Formel ist also nur gut für die Schwerkraft über der Oberfläche. Nachfolgend gelten andere (und unwichtige) Regeln.}

^{2$u=0.5\pi /d_0$, Wo$d_0$ist der Abstand zwischen zwei Null-g-Punkten oder$1/2$die Kosinuswellenlänge.}

$e^{-\lambda du}$Und$\cos(du)$sind dimensionslos, sodass das Ergebnis in Einheiten von bleibt$m/s/s$. Das Multiplizieren des Ergebnisses mit der Masse des Objekts ergibt eine auf das Objekt ausgeübte Kraft, die positiv oder negativ sein kann.

Da es sich hier um Worldbuilding handelt, sind viele dieser Parameter umschaltbar und entstehen (scheinbar) nicht aus grundlegenden Interaktionen. Das ist okay, denke ich. Ich muss nicht vollständig ausarbeiten und begründen, warum diese Konstanten so sind, wie ich sie gewählt habe (oder warum die Schwerkraft anders ist), ich kann sie einfach in eine schwarze Ecke stecken und mit ihrer Ausgabe arbeiten.

Es gibt einige seltsame Eigenschaften bei dieser Form der Gravitation. Hier ist eine Grafik:

_{$\lambda =0.5, S=1$}

Wenn sich ein Objekt über die Oberfläche erhebt, sinkt die Gravitationsbeschleunigung bis in einiger Entfernung$\pi /u$, die Beschleunigung wird Null und kehrt sich um und wird abstoßend. Die Kraftvektoren zeigen von der Planetenoberfläche weg und das Objekt wird wegbeschleunigt, bis es den wiederkehrenden Null-g-Punkt kreuzt und mit der Verzögerung beginnt.
Da jedoch die Entfernung, über die Beschleunigung/Verzögerung auftritt, konstant ist und die Größe der Beschleunigung/Verzögerung immer abnimmt, wird ein nicht antreibendes Objekt immer vom Planeten wegbeschleunigen – für immer – sobald es den anfänglichen Null-G-Punkt überschritten hat über der Planetenoberfläche. Um sich dem Planeten überhaupt zu nähern, muss ein Objekt eine gewisse minimale „Eintrittsgeschwindigkeit“ haben.

Wie sehen Umlaufbahnen aus?

Die Schwerkraft oszilliert zwischen positiv und negativ, anziehend und abstoßend. (In der Grafik sind attraktive Regionen solide.) Stabile Umlaufbahnen scheinen in zwei Varianten vorzukommen: Umlaufbahnen, die ausschließlich innerhalb attraktiver Regionen verbleiben (weitgehend kreisförmig) und Umlaufbahnen, die zwischen anziehenden und abstoßenden Regionen oszillieren (weitgehend sinusförmig). Hochelliptische Bahnen sind unmöglich; Wenn ein Objekt genug Orbitalenergie hat, um mehr als einen Null-G-Punkt zu überqueren, wird es aus dem System ausgeworfen. Flugbahnen, die fast einen zweiten Null-G-Punkt überqueren, sind „kritisch“.

_{(Attraktive Regionen in Schwarz, abstoßende in Dunkelgrau. Pfade, die mit einem nicht rotierenden Körper in der Mitte verfolgt werden.)
Hier sehen wir ein Objekt (zweites Bild) auf einer kritisch oszillierenden Flugbahn, das auf den Planeten fällt, obwohl es nicht genug kinetische Energie hat, um es zu überwinden die abstoßende Region und wird wieder heraus beschleunigt – obwohl nicht stark genug, um in die zweite abstoßende Region einzudringen – ad infinitum. Die Tangentialgeschwindigkeit scheint fast unabhängig von der Radialgeschwindigkeit zu sein, was bedeutet, dass zwei Objekte eine Orbitalregion teilen und dennoch sehr unterschiedliche Geschwindigkeiten im Vergleich zueinander haben können. Daher das dickere Band nachgezeichneter Umlaufbahnen (die eine schnellere Bewegung darstellen) innerhalb der größeren, langsameren, spärlicheren Flugbahn.}

Stabile Umlaufbahnen gibt es nur in attraktiven Regionen, in denen die Kraftvektoren auf den Planeten zeigen. Kreisbahnen in diesen Regionen können aufgrund des großen Gravitationsgradienten sehr unterschiedliche Umlaufgeschwindigkeiten haben. An der Spitze des Bereichs, wo der Kraftvektor am stärksten ist, ist die Orbitalgeschwindigkeit am höchsten, wohingegen zu beiden Seiten der Spitze die Geschwindigkeiten abnehmen und sich Null nähern. Geosynchrone Trajektorien sind nicht auf den Raum der Null-g-Regionen beschränkt, sondern können auch zwischen anziehenden und abstoßenden Regionen oszillieren. Auf der Planetenoberfläche würde dies wie ein Satellit aussehen, der im Laufe des Tages näher und weiter wächst (in derselben Position oder entlang einer Achterbahn).

_{In der Nähe der höheren Umlaufbahnen befinden sich einige synchrone Flugbahnen, die fast "auf der Stelle springen".}

Womit ich Probleme habe

Ich denke, mein Problem ist hauptsächlich ein mathematisches (ich weiß über Mathematik so viel wie ein fortgeschrittener Programmierer sollte, aber nicht genug, um die Gleichungen zu analysieren und abzuleiten, die ich brauche, um meine eigene Frage zu beantworten, denke ich).
Ich möchte, dass meine Reisenden solche Objekte erkunden, und obwohl die Eigenschaften dieses Gravitationssystems magisch sind, sind die Reisenden selbst durch die Tsiolkovsky-Raketengleichung eingeschränkt .
Was ich brauche, ist eine Methode zur Berechnung von Delta-V-Budgets unter Berücksichtigung der modifizierten Schwerkraft.

Angenommen, meine Reisenden wollen vom Planeten in eine Höhe über der Oberfläche abheben (angenommen, es gibt keine Atmosphäre). Sie bräuchten eine Methode, um herauszufinden, wie viel Delta-v erforderlich ist, um dorthin zu gelangen (was wahrscheinlich eine Verlangsamung an "dort" beinhaltet, da die abstoßenden Regionen daran arbeiten, sie aus dem System zu beschleunigen) sowie wie viel Delta -v müssten sie zurückkommen . Denken Sie daran, dass die abstoßenden Regionen ihnen dabei helfen werden, den Planeten zu verlassen (und vielleicht sogar ein wenig bei der Zirkularisierung ihrer Umlaufbahn), aber sie werden auf dem Weg zurück nach unten gegen dieselben Regionen kämpfen.
Vielleicht wäre das einfachste Problem, herauszufinden, wie viel Delta-v erforderlich ist, um sich radial von einer Region – abstoßend oder anziehend – zu einer anderen zu bewegen.
Der Einfachheit halber machen wir uns nur Sorgen um koplanare Änderungen der Flugbahn.