Dimensionslose Zahlen oder Parameter, die ≪1≪1\ll 1 oder ≫1≫1\gg 1 sind

Die Kenntnisnahme dieser Beziehungen ist im Allgemeinen ein Vorläufer für entweder (a) die Anwendung einer Näherung oder (b) die Verwendung einer purturbativen oder Reihenlösung.

Was in Fall (a) in Frage kommt, hängt ganz von Ihrer Fehlerempfindlichkeit ab. Wenn Sie Begriffe wegwerfen wollen$\mathcal{O}(C^{\pm 2})$und erfordern dann eine Annäherung von 1%$C$sollte besser um einen Faktor etwas größer als 10 von 1 abweichen.

Im Fall (b) kann es harte Grenzen für den Wert von geben$C$für die der von Ihnen verwendete mathematische Ansatz konvergiert. Sie müssen die folgende Analyse verstehen, oder Sie sind versunken. Sobald die Konvergenz garantiert ist, kommen wir auf die Situation in Fall (a) zurück: Sie sehen sich das Residuum an, nachdem Sie so viele Befehle summiert haben, wie Sie arbeiten werden, und vergleichen Sie dies mit Ihrer gewünschten Empfindlichkeit.

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Als Faustregel gilt, dass Faktoren kleiner als 10 selten für „viel [größer|kleiner] als“ in Frage kommen .

Dies ist eine beispielhafte Ergänzung zu dmckees Antwort.

Angenommen, ich möchte die Erdbeschleunigung eines Objekts nahe der Erdoberfläche bestimmen. Lassen$h$sei die Höhe des Objekts über der Oberfläche, dann erhalte ich nach Newtons Gravitationsgesetz

$$\begin{align} a = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{R^2}\left(1-2\frac{h}{R}+O\left(\frac{h}{R}\right)^2\right) \end{align}$$ Wo $R$ist der Radius der Erde, $G$ist Newtons Gravitationskonstante, und $M$ist die Masse der Erde. Erkennen des Koeffizienten vor der Taylor-Entwicklung als (im Wesentlichen) das, was wir normalerweise nennen $g$, und das dimensionslose Verhältnis aufrufen $h/R$von der Höhe über der Erde zum Erdradius $\epsilon$, wir glauben, dass $$\begin{align} a = g(1-2\epsilon+O(\epsilon^2)) \end{align}$$ Beachten Sie, dass dieser Ausdruck die folgenden Eigenschaften hat:

1. Wenn$\epsilon = 0$die beschleunigung ist$g$.

2. Wenn$\epsilon$liegt in der Nähe$0$, die Beschleunigung ist in der Nähe von$g$.

In der obigen Situation würde ich das gerne sagen

Wenn$\epsilon \ll 1$, dann ist die Erdbeschleunigung$g$.

Wenn ich eine Messung mache, dann können wir auch den Begriff machen$\epsilon\ll 1$scharf, abhängig von den Einschränkungen unserer Instrumentierung. Angenommen, ich messe die Erdbeschleunigung über der Erdoberfläche mit einem Instrument, das Abweichungen messen kann$g$bis zu$10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm s^2$, dann könnte ich hier geneigt sein, das zu sagen

Mein Messgerät wird Abweichungen in ausreichend messen$g$bereitgestellt$\epsilon \ll 1$.

aber was ich hier wirklich meine ist

Mein Messgerät wird Abweichungen in ausreichend messen$g$bereitgestellt$\epsilon < 10^{-3}/2$.

eine weniger zweideutige Aussage. Der Hauptpunkt ist die Verwendung von$\ll$Das Symbol ist kontextabhängig, wie in der Antwort von dmckee betont wird.