Drehimpuls im Massenmittelpunktsystem

Wenn der Ball an seinem Massenmittelpunkt (CoM) aufgehängt ist, dreht er sich nicht, wenn er schwingt (Diagramm 1). Die Kräfte wirken durch das CoM und es gibt kein Drehmoment. Der Ball behält die gleiche Ausrichtung im Raum bei. Dies kann als einfaches Pendel beschrieben werden .

Wenn sich in Ihrem Fall der Ball beim Schwingen dreht, muss sich sein Drehimpuls ändern, wenn Sie daraus schließen. Dies könnte passieren, wenn die Schnur oder Stange am Rand des Balls befestigt ist (Abbildung 2). Jetzt kann sich die Kugel um den Befestigungspunkt drehen. Dabei geht die Spannung in der Schnur oder Stange nicht durch den CoM des Balls. Es kann also ein unterschiedliches Drehmoment auf die Kugel wirken, das eine Drehung im Raum verursacht. Dies ist ein zusammengesetztes Pendel .

Eine andere Anordnung besteht darin, die steife Stange an zwei Punkten am Ball zu befestigen, anstatt nur an einem (Diagramm 3). Nun müssen die Kräfte von der Stange auf die Kugel nicht durch denselben Punkt wirken, sodass ein Drehmoment erzeugt werden kann, das die Kugel im Raum dreht, während sie schwingt.

Bei einer anderen Anordnung könnte ein schwerer Ball auf dem Sitz einer Schaukel ruhen. Es ist unmöglich, die Schaukel wie ein Pendel in Schwingung zu versetzen, ohne dass die Kugel auf dem Sitz vor- und zurückrollt. Um diese Bewegung zu erklären, ist ein variierendes Drehmoment erforderlich.

Berücksichtigt man die Kräfte und Momente am Ball richtig, ergibt sich die Formel$L_G=I\omega$gilt aber immer noch$\dot L_G =M_G \ne 0$.

Ok, also dreht sich die Kugel (und ihr Massenmittelpunkt CM) um den Drehpunkt$O$mit Winkelgeschwindigkeit$\omega$und Winkelbeschleunigung$\alpha$. Die Bewegungsgleichung folgt aus

$$mL^2\alpha =I_{\text{ball}} \alpha= -mgL\sin\theta$$

Der Drehimpuls der Kugel bzgl. des Punktes$O$Ist$L_{\text{ball}}=I_{\text{ball}} \omega$. Beachten Sie, dass das Drehmoment ist$\dot{L}=-mgL\sin\theta$aus obiger Beziehung.

Die obige Diskussion wurde von dem Punkt aus gesehen$O$. Betrachten wir nun den Schwerpunkt.

Das ist der Punkt$O$dreht sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit um CM$\omega$und Winkelbeschleunigung$\alpha$. Jedoch,$O$ist also einfach ein Punkt mit Masse Null$I_{\text{point } O} = 0$. Die Formel$L = I_{\text{point } O}\cdot\omega$stimmt für den Punkt$O$sondern gibt einfach nach$L_{\text{point } O}=0.$Das Drehmoment des Punktes$O$ist ebenfalls null.

Die verwirrende Tatsache ist, dass das Drehmoment und der Drehimpuls der Kugel bezüglich des Massenmittelpunkts ebenfalls Null sind, aber dies liegt daran, dass die Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung der Kugel von CM aus Null sind: Die Kugel dreht sich überhaupt nicht um ihren Massenmittelpunkt (Ich gehe davon aus, dass Sie von einem einfachen Pendel sprechen, wie in der Antwort von @sammy gerbil.)

Ich gehe davon aus, dass Sie das Problem lösen, das Drehmoment aus dem Drehpunkt zu berechnen und diesen zu verwenden$\tau = I\alpha$, wie in der Antwort des Mechanodroiden erklärt.

Das Problem bei der Berechnung des Drehmoments aus dem COM besteht darin, dass es sich nicht um einen Trägheitsrahmen handelt. Der Ausdruck$\tau = I\alpha$(als zweites Newtonsches Gesetz:$F = ma$) gilt für Trägheitsrahmen.

Im Fall eines Objekts ohne angewendete Nettokräfte ist der COM ein Trägheitsrahmen und der Ausdruck für den Spin:$L = I\omega$gilt, wenn daraus gerechnet wird. Auch wenn der COM kein Trägheitsrahmen ist, aber wenn die äußere Kraft als auf ihn wirkend betrachtet werden kann (als umlaufende Körper unter Gravitationskraft),$L = I\omega$gilt auch.