Ein Beweis, dass ZpZp\mathbb{Z}_{p} genau dann ein Integralbereich ist, wenn ppp eine Primzahl ist.

Ich habe einen möglicherweise strengeren Beweis dafür$\Leftarrow$nachweisen:

Annehmen$p$ist prim. Nun, bedenke$ab \equiv 0 \pmod p$. Das heisst,$ab=np$für einige$n \in \Bbb{Z}$. Daher,$p \mid ab$, also auch nicht durch die Definition eines Primelements$p \mid a$oder$p \mid b$. Daher auch nicht$a \equiv 0 \pmod p$oder$b \equiv 0 \pmod p$. Dies beweist das$\Bbb{Z}_p$hat keine Nullteiler. Es ist trivial zu zeigen, dass es sich um einen kommutativen Ring mit Identität handelt, also bedeutet dies das$\Bbb{Z}_p$ist ein integraler Bereich.

$(\Rightarrow)$Ihr Beweis ist richtig, aber Sie beginnen mit$p$, dann fängst du an, es anzurufen$n$und am Ende ist es$p$nochmal. Tu das nicht.

$(\Leftarrow)$Hier gibt es das gleiche Problem. Außerdem, als du geschrieben hast$1<a<n$, hättest du schreiben sollen$1\leqslant a<b$. Abschließend sollten Sie erklären, wie Sie bestanden haben$a\nmid p$zu der Behauptung, dass$\mathbb Z_p$hat keine Nullteiler.