Ist das ein Beweis für x Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Benjamin Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Beanspruchen: x < y⟺XN<jN X < j ⟺ X N < j N x<y \iff x^n < y^nfürn ∈ N N ∈ N n\in \mathbb N. Bearbeiten:x , y> 0 X , j > 0 x,y>0 Beweis: Da das zu Beweisende biconditional ist, müssen wir beides beweisenx < y⟹XN<jN X < j ⟹ X N < j N x<y \implies x^n<y^nUndx < y⟸XN<jN X < j ⟸ X N < j N x<y \impliedby x^n<y^nsind wahr. Das beweisen wir erstmalx < y⟹XN<jN X < j ⟹ X N < j N x<y \implies x^n<y^nist nach Induktion wahr. Es ist trivial zu zeigen, dass dies für den Fall giltn = 1 N = 1 n=1, und ich habe früher bewiesen, dass es auch für den Fall giltn = 2 N = 2 n=2(Wir brauchen das hier also nicht zu beweisen. Nehmen wir an, dass die Aussage für einige giltn = k N = k n=k. Wir wollen zeigen, dass es auch für giltn = k + 1 N = k + 1 n=k+1. Wir können das sagen Xk + 1−jk + 1≡ ( x − y) (Xk+Xk - 1j+ . . . + xjk - 1+jk) X k + 1 − j k + 1 ≡ ( X − j ) ( X k + X k − 1 j + . . . + X j k − 1 + j k ) x^{k+1} - y^{k+1} \equiv (x-y)(x^k+x^{k-1}y +...+xy^{k-1} + y^k)und da( x − y) < 0 ( X − j ) < 0 (x-y)<0, Und(Xk+Xk - 1j+ . . . + xjk - 1+jk) > 0 ( X k + X k − 1 j + . . . + X j k − 1 + j k ) > 0 (x^k+x^{k-1}y +...+xy^{k-1} + y^k) > 0, wir sehen dasXk + 1−jk + 1 X k + 1 − j k + 1 x^{k+1} - y^{k+1}muss negativ sein. Damit kommen wir zum gewünschten Ergebnis: Xk + 1−jk + 1< 0. X k + 1 − j k + 1 < 0. x^{k+1} - y^{k+1}<0.Also für allen ∈ N N ∈ N n\in \mathbb N,x < y⟹XN<jN X < j ⟹ X N < j N x<y \implies x^n<y^n. Das müssen wir jetzt beweisenx < y⟸XN<jN X < j ⟸ X N < j N x<y \impliedby x^n<y^nstimmt auch. Wenn wir diese Aussage in der kontrapositiven Form schreiben, finden wir Folgendes: ( x < y⟸XN<jN)⟺(XN<jN⟹x < y) ( X < j ⟸ X N < j N ) ⟺ ( X N < j N ⟹ X < j ) (x<y \impliedby x^n<y^n) \iff (x^n<y^n \implies x<y) ⟺( J< x⟹jN<XN) . ⟺ ( j < X ⟹ j N < X N ) . \iff (y<x \implies y^n<x^n). SeitX X xUndj j ybeliebige Zahlen sind, haben wir bereits bewiesen. ■ ◼ \tag*{$\blacksquare$} -- Das Obige ist mein Beweisversuch, ich möchte, dass jemand bestätigt, ob es richtig ist oder nicht. Für die Zeile, in der ich die Äquivalenz festlegeXk + 1−jk + 1≡ ( x − y) (Xk+Xk - 1j+ . . . + xjk - 1+jk) X k + 1 − j k + 1 ≡ ( X − j ) ( X k + X k − 1 j + . . . + X j k − 1 + j k ) x^{k+1} - y^{k+1} \equiv (x-y)(x^k+x^{k-1}y +...+xy^{k-1} + y^k), muss ich klarstellen, dass ich dies als gegeben verwenden musste und würde mich freuen, wenn jemand darauf hinweisen könnte, warum dies offensichtlich ist oder wie man das beweist, fast als Lemma für den Beweis. Meine letzte Bitte ist, dass Sie, wenn es irgendein Problem mit meinem tatsächlichen Korrekturschreiben gibt, darauf hinweisen (z. B. ist dies ein üblicher Stil oder ist er ungewöhnlich und schwer zu befolgen usw.). Edit: Es wurde darauf hingewiesen, dass ich das vergessen habeX X xUndj j ysind positiv, also habe ich das aufgenommen. Proof-Verifizierung Korrekturschreiben Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Gehst du davon ausx , y> 0 X , j > 0 x, y > 0? Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z David Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Sie brauchen die Bedingung dafürX X xUndj j ysind positiv. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Cameron Williams Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z true by inductionWie gesagt, das ist ein direkter Beweis, da die Induktionshypothese nie verwendet wird. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z dxiv Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Die Verneinung vonx < y X < j x < yIstj≤ x j ≤ X y \leq x, nichtj< x j < X y < x. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z David Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Um zu sehen, warum Sie Positivität brauchen, betrachten Sie den allgemeinen Fall. Um das zu argumentierenX2<j2 X 2 < j 2 x^2 < y^2ausx < y X < j x < y, würden wir auf beiden Seiten mit multiplizieren wollenX X xso dassX2< xy _ X 2 < X j x^2 < xy, aber seitx < y X < j x < y,x y<j2 X j < j 2 xy < y^2indem man auf beiden Seiten mit multipliziertj j y. Beachten Sie, dass die Ungleichheiten durcheinander geraten können, wenn Sie keine Positivität annehmen. (Sag nichts darüber, was mit passiert0 0 0.) Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Cameron Williams Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Ich habe meine Antwort bearbeitet. Ich hatte vergessen, die Tatsache einzubeziehen, dass x,y positiv sind. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Benjamin Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Dieser Beweis funktioniert ohne Induktion. Um dies per Induktion zu tun, beginnen Sie mitXN<jN X N < j N x^n < y^nund versuchen zu beweisenXn + 1< xjN<jn + 1 X N + 1 < X j N < j N + 1 x^{n+1} < xy^n < y^{n+1}. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z David Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Zeige, dassF( x ) =XN F ( X ) = X N f(x)=x^nnimmt streng zux ≥ 0 X ≥ 0 x\ge 0. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z kupfer.hut Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Benutzer65203 Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Hinweis: Fürn = 1 N = 1 n=1,x < y⟺x < y X < j ⟺ X < j x<y\iff x<yhält offensichtlich. Nehmen Sie das jetzt für einige anN N n, x < y⟺XN<jN. X < j ⟺ X N < j N . x<y\iff x^n<y^n. Dann nach der Regel der Multiplikation von Ungleichungen, x < y∧XN<jN⟹Xn + 1<jn + 1 X < j ∧ X N < j N ⟹ X N + 1 < j N + 1 x<y\land x^n<y^n\implies x^{n+1}<y^{n+1} so dass x < y⟹XN<jN⟹Xn + 1<jn + 1. X < j ⟹ X N < j N ⟹ X N + 1 < j N + 1 . x<y\implies x^n<y^n\implies x^{n+1}<y^{n+1}. Probieren Sie jetzt das Kontrapositiv aus. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z

Beanspruchen: X < j ⟺ X N < j N für N ∈ N . Bearbeiten: X , j > 0

Beweis: Da das zu Beweisende biconditional ist, müssen wir beides beweisen X < j ⟹ X N < j N Und X < j ⟸ X N < j N sind wahr.

Das beweisen wir erstmal X < j ⟹ X N < j N ist nach Induktion wahr. Es ist trivial zu zeigen, dass dies für den Fall gilt N = 1 , und ich habe früher bewiesen, dass es auch für den Fall gilt N = 2 (Wir brauchen das hier also nicht zu beweisen.

Nehmen wir an, dass die Aussage für einige gilt N = k . Wir wollen zeigen, dass es auch für gilt N = k + 1 .

Wir können das sagen

X k + 1 − j k + 1 ≡ ( X − j ) ( X k + X k − 1 j + . . . + X j k − 1 + j k )
und da ( X − j ) < 0 , Und ( X k + X k − 1 j + . . . + X j k − 1 + j k ) > 0 , wir sehen das X k + 1 − j k + 1 muss negativ sein. Damit kommen wir zum gewünschten Ergebnis:

X k + 1 − j k + 1 < 0.
Also für alle N ∈ N , X < j ⟹ X N < j N .

Das müssen wir jetzt beweisen X < j ⟸ X N < j N stimmt auch. Wenn wir diese Aussage in der kontrapositiven Form schreiben, finden wir Folgendes:

( X < j ⟸ X N < j N ) ⟺ ( X N < j N ⟹ X < j )
⟺ ( j < X ⟹ j N < X N ) .

Seit X Und j beliebige Zahlen sind, haben wir bereits bewiesen.

◼

--

Das Obige ist mein Beweisversuch, ich möchte, dass jemand bestätigt, ob es richtig ist oder nicht. Für die Zeile, in der ich die Äquivalenz festlege X k + 1 − j k + 1 ≡ ( X − j ) ( X k + X k − 1 j + . . . + X j k − 1 + j k ) , muss ich klarstellen, dass ich dies als gegeben verwenden musste und würde mich freuen, wenn jemand darauf hinweisen könnte, warum dies offensichtlich ist oder wie man das beweist, fast als Lemma für den Beweis. Meine letzte Bitte ist, dass Sie, wenn es irgendein Problem mit meinem tatsächlichen Korrekturschreiben gibt, darauf hinweisen (z. B. ist dies ein üblicher Stil oder ist er ungewöhnlich und schwer zu befolgen usw.).

Edit: Es wurde darauf hingewiesen, dass ich das vergessen habe X Und j sind positiv, also habe ich das aufgenommen.

Gehst du davon aus X , j > 0 ?
Sie brauchen die Bedingung dafür X Und j sind positiv.
true by inductionWie gesagt, das ist ein direkter Beweis, da die Induktionshypothese nie verwendet wird.
Die Verneinung von X < j Ist j ≤ X , nicht j < X .
Um zu sehen, warum Sie Positivität brauchen, betrachten Sie den allgemeinen Fall. Um das zu argumentieren X 2 < j 2 aus X < j , würden wir auf beiden Seiten mit multiplizieren wollen X so dass X 2 < X j , aber seit X < j , X j < j 2 indem man auf beiden Seiten mit multipliziert j . Beachten Sie, dass die Ungleichheiten durcheinander geraten können, wenn Sie keine Positivität annehmen. (Sag nichts darüber, was mit passiert 0 .)
Ich habe meine Antwort bearbeitet. Ich hatte vergessen, die Tatsache einzubeziehen, dass x,y positiv sind.
Dieser Beweis funktioniert ohne Induktion. Um dies per Induktion zu tun, beginnen Sie mit X N < j N und versuchen zu beweisen X N + 1 < X j N < j N + 1 .
Zeige, dass F ( X ) = X N nimmt streng zu X ≥ 0 .

Antworten (1)

Hinweis:

Für N = 1 , X < j ⟺ X < j hält offensichtlich.

Nehmen Sie das jetzt für einige an N ,

X < j ⟺ X N < j N .

Dann nach der Regel der Multiplikation von Ungleichungen,

X < j ∧ X N < j N ⟹ X N + 1 < j N + 1

so dass

X < j ⟹ X N < j N ⟹ X N + 1 < j N + 1 .

Probieren Sie jetzt das Kontrapositiv aus.

Ist das ein Beweis für x Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Benjamin Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Beanspruchen: x < y⟺XN<jN X < j ⟺ X N < j N x<y \iff x^n < y^nfürn ∈ N N ∈ N n\in \mathbb N. Bearbeiten:x , y> 0 X , j > 0 x,y>0 Beweis: Da das zu Beweisende biconditional ist, müssen wir beides beweisenx < y⟹XN<jN X < j ⟹ X N < j N x<y \implies x^n<y^nUndx < y⟸XN<jN X < j ⟸ X N < j N x<y \impliedby x^n<y^nsind wahr. Das beweisen wir erstmalx < y⟹XN<jN X < j ⟹ X N < j N x<y \implies x^n<y^nist nach Induktion wahr. Es ist trivial zu zeigen, dass dies für den Fall giltn = 1 N = 1 n=1, und ich habe früher bewiesen, dass es auch für den Fall giltn = 2 N = 2 n=2(Wir brauchen das hier also nicht zu beweisen. Nehmen wir an, dass die Aussage für einige giltn = k N = k n=k. Wir wollen zeigen, dass es auch für giltn = k + 1 N = k + 1 n=k+1. Wir können das sagen Xk + 1−jk + 1≡ ( x − y) (Xk+Xk - 1j+ . . . + xjk - 1+jk) X k + 1 − j k + 1 ≡ ( X − j ) ( X k + X k − 1 j + . . . + X j k − 1 + j k ) x^{k+1} - y^{k+1} \equiv (x-y)(x^k+x^{k-1}y +...+xy^{k-1} + y^k)und da( x − y) < 0 ( X − j ) < 0 (x-y)<0, Und(Xk+Xk - 1j+ . . . + xjk - 1+jk) > 0 ( X k + X k − 1 j + . . . + X j k − 1 + j k ) > 0 (x^k+x^{k-1}y +...+xy^{k-1} + y^k) > 0, wir sehen dasXk + 1−jk + 1 X k + 1 − j k + 1 x^{k+1} - y^{k+1}muss negativ sein. Damit kommen wir zum gewünschten Ergebnis: Xk + 1−jk + 1< 0. X k + 1 − j k + 1 < 0. x^{k+1} - y^{k+1}<0.Also für allen ∈ N N ∈ N n\in \mathbb N,x < y⟹XN<jN X < j ⟹ X N < j N x<y \implies x^n<y^n. Das müssen wir jetzt beweisenx < y⟸XN<jN X < j ⟸ X N < j N x<y \impliedby x^n<y^nstimmt auch. Wenn wir diese Aussage in der kontrapositiven Form schreiben, finden wir Folgendes: ( x < y⟸XN<jN)⟺(XN<jN⟹x < y) ( X < j ⟸ X N < j N ) ⟺ ( X N < j N ⟹ X < j ) (x<y \impliedby x^n<y^n) \iff (x^n<y^n \implies x<y) ⟺( J< x⟹jN<XN) . ⟺ ( j < X ⟹ j N < X N ) . \iff (y<x \implies y^n<x^n). SeitX X xUndj j ybeliebige Zahlen sind, haben wir bereits bewiesen. ■ ◼ \tag*{$\blacksquare$} -- Das Obige ist mein Beweisversuch, ich möchte, dass jemand bestätigt, ob es richtig ist oder nicht. Für die Zeile, in der ich die Äquivalenz festlegeXk + 1−jk + 1≡ ( x − y) (Xk+Xk - 1j+ . . . + xjk - 1+jk) X k + 1 − j k + 1 ≡ ( X − j ) ( X k + X k − 1 j + . . . + X j k − 1 + j k ) x^{k+1} - y^{k+1} \equiv (x-y)(x^k+x^{k-1}y +...+xy^{k-1} + y^k), muss ich klarstellen, dass ich dies als gegeben verwenden musste und würde mich freuen, wenn jemand darauf hinweisen könnte, warum dies offensichtlich ist oder wie man das beweist, fast als Lemma für den Beweis. Meine letzte Bitte ist, dass Sie, wenn es irgendein Problem mit meinem tatsächlichen Korrekturschreiben gibt, darauf hinweisen (z. B. ist dies ein üblicher Stil oder ist er ungewöhnlich und schwer zu befolgen usw.). Edit: Es wurde darauf hingewiesen, dass ich das vergessen habeX X xUndj j ysind positiv, also habe ich das aufgenommen. Proof-Verifizierung Korrekturschreiben Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Gehst du davon ausx , y> 0 X , j > 0 x, y > 0? Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z David Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Sie brauchen die Bedingung dafürX X xUndj j ysind positiv. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Cameron Williams Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z true by inductionWie gesagt, das ist ein direkter Beweis, da die Induktionshypothese nie verwendet wird. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z dxiv Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Die Verneinung vonx < y X < j x < yIstj≤ x j ≤ X y \leq x, nichtj< x j < X y < x. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z David Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Um zu sehen, warum Sie Positivität brauchen, betrachten Sie den allgemeinen Fall. Um das zu argumentierenX2<j2 X 2 < j 2 x^2 < y^2ausx < y X < j x < y, würden wir auf beiden Seiten mit multiplizieren wollenX X xso dassX2< xy _ X 2 < X j x^2 < xy, aber seitx < y X < j x < y,x y<j2 X j < j 2 xy < y^2indem man auf beiden Seiten mit multipliziertj j y. Beachten Sie, dass die Ungleichheiten durcheinander geraten können, wenn Sie keine Positivität annehmen. (Sag nichts darüber, was mit passiert0 0 0.) Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Cameron Williams Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Ich habe meine Antwort bearbeitet. Ich hatte vergessen, die Tatsache einzubeziehen, dass x,y positiv sind. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Benjamin Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Dieser Beweis funktioniert ohne Induktion. Um dies per Induktion zu tun, beginnen Sie mitXN<jN X N < j N x^n < y^nund versuchen zu beweisenXn + 1< xjN<jn + 1 X N + 1 < X j N < j N + 1 x^{n+1} < xy^n < y^{n+1}. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z David Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Zeige, dassF( x ) =XN F ( X ) = X N f(x)=x^nnimmt streng zux ≥ 0 X ≥ 0 x\ge 0. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z kupfer.hut Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Benutzer65203 Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z Hinweis: Fürn = 1 N = 1 n=1,x < y⟺x < y X < j ⟺ X < j x<y\iff x<yhält offensichtlich. Nehmen Sie das jetzt für einige anN N n, x < y⟺XN<jN. X < j ⟺ X N < j N . x<y\iff x^n<y^n. Dann nach der Regel der Multiplikation von Ungleichungen, x < y∧XN<jN⟹Xn + 1<jn + 1 X < j ∧ X N < j N ⟹ X N + 1 < j N + 1 x<y\land x^n<y^n\implies x^{n+1}<y^{n+1} so dass x < y⟹XN<jN⟹Xn + 1<jn + 1. X < j ⟹ X N < j N ⟹ X N + 1 < j N + 1 . x<y\implies x^n<y^n\implies x^{n+1}<y^{n+1}. Probieren Sie jetzt das Kontrapositiv aus. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-01T12:35:29.233Z
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