Eine Frage im Zusammenhang mit dem Binomialsatz von Newton, an die ich nicht denken kann

Question

Eine Frage im Zusammenhang mit dem Binomialsatz von Newton, an die ich nicht denken kann

Mathematik
Kombinatorik
Binomialsatz
Diskrete Mathematik
erzeugende Funktionen

3ibfwcbi

Ich versuche, eine Aufgabe eines Instituts zu lösen, an dem ich nicht studiere, und kann keine Antwort auf diese Frage erhalten. Für die Theorie studiere ich Einführende Kombinatorik von Richard Brualdi.

Frage ist -> Zeigen Sie das $(1-4x)^{-1/2}$ erzeugt die Sequenz ${2n \choose n}$ .

Unter Verwendung der Newton-Binomial-Formel bekomme ich $\frac{ (2n) (2n-2) ... (2n-2k +2) 2^k } { k! }$ was keine Antwort geben wird.

Ich weiß nicht, wo ich mich irre. Kann bitte jemand eine zurückhaltende Antwort geben. Ich kann niemanden fragen, da ich Selbstlerner bin.

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Eine Frage im Zusammenhang mit dem Binomialsatz von Newton, an die ich nicht denken kann

Robert z · Answer 1

Sie haben etwas mit zwei Variablen erhalten: $n$ Und $k$ . Der erforderliche Koeffizient hängt ab von $n$ nur!

Die Verwendung der (verallgemeinerten) Binomialformel bedeutet das

(1 - 4 X)^{- 1 / 2} = \sum_{N = 0}^{\infty} (\binom{- 1 / 2}{N}) (- 4)^{N} X^{N} .

$(1-4x)^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/2}{n}(-4)^{n} x^n.$ Erweitern Sie nun den Binomialkoeffizienten

\begin{aligned} (\binom{- 1 / 2}{N}) (- 4)^{N} & = \frac{(- \frac{1}{2}) (- \frac{3}{2}) (- \frac{5}{2}) \dots (- \frac{1}{2} - N + 1) (- 4)^{N}}{N!} \\ = \frac{(1) (3) (5) \dots (2 N - 1) (2)^{N}}{N!} \end{aligned}

$\begin{align} \binom{-1/2}{n}(-4)^{n}&=\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})\dots (-\frac{1}{2}-n+1)(-4)^{n}}{n!}\\ &=\frac{(1)(3)(5)\dots (2n-1)(2)^{n}}{n!} \end{align}$ Kannst du es von hier nehmen?

Eine Frage im Zusammenhang mit dem Binomialsatz von Newton, an die ich nicht denken kann

3ibfwcbi

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Robert z

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