Einfache Ableitung der Sonnenaufgangsgleichung

Wir können mit der Umrechnung zwischen äquatorialen Koordinaten beginnen (Rektaszension$\alpha$und Deklination$\delta$) in horizontale Koordinaten (Azimuth$\text{Az}$und Elevation/Höhe$a$). Wenn Sie darüber hinausgehen möchten, können Sie gerne zum Ende springen. Wir zeichnen ein kugelförmiges Dreieck an den Himmel, wobei die drei Punkte an einem bestimmten Punkt das interessierende Objekt sind$X$, der nördliche Himmelspol$P$, und dem Zenitwinkel des Beobachters$Z$. Allein durch die Definitionen von Erhebung und Deklination sollten Sie in der Lage sein, den Abstand zwischen ihnen zu erkennen$X$Und$Z$Ist$90^{\circ}-a$und der Abstand dazwischen$X$Und$P$Ist$90^{\circ}-\delta$. Der Abstand zwischen$P$Und$Z$ist dann$90^{\circ}-\phi$, mit$\phi$der Breite des Beobachters. Hier ist ein schönes Diagramm, das die Geometrie zeigt :

^{Bildnachweis: Fiona Vincent, University of St. Andrews.}

Der Winkel dazwischen$PZ$Und$PX$ist der Stundenwinkel,$H$. Wir können all das Obige in das sphärische Kosinusgesetz einsetzen , um es zu erhalten

$$\cos(90^{\circ}-a)=\cos(90^{\circ}-\delta)\cos(90^{\circ}-\phi)+\sin(90^{\circ}-\delta)\sin(90^{\circ}-\phi)\cos(H)$$ oder $$\sin a=\sin\delta\sin\phi+\cos\delta\cos\phi\cos H$$ Das ist die Formel, von der Sie sagen, dass Meeus sie gegeben hat. Jetzt erscheint die Sonne bei Sonnenaufgang oder Sonnenuntergang am Horizont, was bedeutet, dass sie eine Höhe von hat$a=0$; das ist nur die Definition des Horizonts und jedes Objekts darauf. Das wiederum bedeutet das$\sin a=0$, also wird unsere Gleichung $$0=\sin\delta\sin\phi+\cos\delta\cos\phi\cos H\implies-\sin\delta\sin\phi=\cos\delta\cos\phi\cos H$$ Umstellen ergibt dies $$\cos H=-\tan\delta\tan\phi$$ wie gewünscht.