Einfluss der E/A-Impedanz im passiven Filterdesign von Butterworth

Die Antwort von @Tony liefert einen Grund dafür, warum die Impedanzfehlanpassung möglicherweise nicht funktioniert, aber in diesem Fall geht es um zwei Dinge: die analytische Bestimmung der Werte der Elemente und ihre Vereinfachung.

LC-Ladder-Filter (Cauer-Topologie) erfordern besondere Überlegungen bei der Konstruktion, da der Ausgang jeder einzelnen LC-Stufe die nächste beeinflusst und von ihr beeinflusst wird, beginnend mit der Eingangsimpedanz und endend mit dem Ausgang. Da LC-Filter als verlustfrei gelten, bedeutet die Angleichung der E/A zwar volle Leistungsübertragung, aber ein Wechsel bedeutet, dass jedes LC-Element neu berechnet werden muss. Dabei gibt es drei Fälle:

1. $R_{IN}>>R_{OUT}$Der Input ist mindestens 10x größer als der Output. Bei einem festen Eingang kann der Ausgang als kurz angesehen werden, daher sollte bei einem Tiefpass-Prototyp das letzte Element ein Shunt oder ein Kondensator sein.
2. $R_{IN}<<R_{OUT}$Wie oben, aber kurzgeschlossener Eingang (ideale Spannungsquelle) => Eingang beginnt mit Kap.
3. $R_{IN}==R_{OUT}$Dies impliziert gewisse Vereinfachungen in den Formeln und ist höchstwahrscheinlich der Grund, warum es auf der Website erforderlich ist. Ich sage dies auch aufgrund der Tatsache, dass die Tschebyscheff-Filter basierend auf einem Optionsfeld entwickelt wurden, das zwischen einigen vordefinierten Passband-Welligkeiten auswählt.

Zum Beispiel ist der Reflexionskoeffizient (ich verwende abs(), um die ersten beiden Fälle zusammenzuführen):

$$\lambda=\frac{|R_{OUT}-R_{IN}|}{R_{OUT}+R_{IN}}$$

und die Elemente werden basierend auf dem Realteil der Pole und einer Funktion von berechnet$\lambda$(es handelt sich um einige 1-$\lambda$), aber falls$R_{IN}=R_{OUT}$Dann$\lambda=0$also vereinfachen sich die Formeln. Dasselbe gilt für Chebyshev.

Wie @Neil jedoch sagt, beginnt die Antwort bei DC bei geraden Bestellungen aufgrund der Art der Chebyshev-Filter bei 1-$\epsilon_p$, Wo$\epsilon_p=10^{A_p/20}-1$(Ap = Durchlasswelligkeit), da es sich also um passive Filter handelt, gibt es keine Verstärkung, und die Last sollte einen minimal zulässigen Wert haben. Die Mindestlast wird ermittelt, indem das Folgende unter Berücksichtigung einer Einheitseingangslast gelöst wird:

$$\frac{4R_{OUT}}{(1+R_{OUT})^2}(1+\epsilon_p^2)\leqslant1 =>$$ $$2\epsilon_p^2-2\epsilon_p\sqrt{\epsilon_p^2+1}+1\leqslant R_{OUT}\leqslant2\epsilon_p^2+2\epsilon_p\sqrt{\epsilon_p^2+1}+1$$

mit normalerweise der positiven (rechten) Seite. Für eine andere Eingangslast als 1 einfach entsprechend skalieren. Wenn Sie darunter gehen, werden keine Explosionen verursacht, aber die Ausgabe wird verzerrt. Hier ist eine Simulation eines Tschebyscheff 4. Ordnung (Typ I) mit 1dB Welligkeit und fp=1Hz, für eine 1$\Omega$Eingabe und ein Schritt von mehreren Werten für die Last:

V(z)ist die Referenz, und der Rest ist wie folgt:

• V(y)berechnet den Filter für Fixed 1$\Omega$Eingang und Ausgang, während die Last zwischen diesen Werten gestuft wird: 1, 1,5, 2, 2,66, 3, 5 (2,66 ist die empfohlene Last);
• V(x)berechnet den Filter für 2,66$\Omega$Ausgang und stufenweise die Last zwischen den erwähnten Werten;
• V(w)synchronisiert die Berechnungen des Filters mit der Ausgabe (dh wenn die Ausgabe 1,5 beträgt, wird der Filter für eine Ausgabe von 1,5 berechnet).

Ich habe auch die von Ihnen verlinkte Webseite verwendet und sie sagte, die Ausgabe sollte 2,699 sein (meine Berechnungen: 2,659722586382993, mit Rundung, in der Praxis am häufigsten).

Zu Ihrer zweiten Frage, obwohl @Neil erwähnt, dass es Fälle gibt, in denen der Eingang oder der Ausgang kurzgeschlossen oder geöffnet bleiben muss, fürchte ich, dass Sie in diesem Fall das Etikett einfach nicht dort platziert haben, wo es hätte platziert werden sollen: vor dem Eingangswiderstand statt nach , wie es bei der Berechnung eines solchen Diports der Fall sein sollte. Für diesen bestimmten T-Filter wird die Übertragungsfunktion zu:

$$H(s)=\frac{R_{O}}{L_1 L_2 C_1 s^3+(L_1 R_{O}+L_2 R_{I})C_1 s^2+(R_{I}R_{O}C_1+L_1+L_2)s+R_{I}+R_{O}}$$

Diese Übertragungsfunktion wird als Vout/Vin geschrieben. Vin ist eine Messung nach den Auswirkungen von R_source, daher erscheint R_source natürlich nicht in der Gleichung.

Wenn die Übertragungsfunktion stattdessen als power_out/power_in geschrieben wäre, wobei die Leistung von/zu einer angepassten Last verfügbar wäre, würde die Quellenimpedanz tatsächlich die Übertragungsfunktion beeinflussen, da sie den Vin-Pegel beeinflusst, den Sie am Eingang zum messen würden Filter aufgrund der Spannungsteilerwirkung zwischen der von der R_source-Impedanz kommenden Leistung und der Impedanz, die der Filter darstellt.

Bei passiven LC-Filtern muss mindestens ein Port resistiv sein, um eine Dämpfung bereitzustellen, es ist jedoch die Norm, beide Ports resistiv zu machen. Dies liegt daran, dass HF-Systeme normalerweise Signale in einem definierten Impedanzsystem bewegen. Es ist auch so, dass die Filterantwort weniger von Schwankungen der Komponentenwerte beeinflusst wird, wenn sie doppelt terminiert ist.

Sie können Filter so entwerfen, dass ein Anschluss einen Kurzschluss oder einen offenen Stromkreis aufweist. Dies ist sehr nützlich, wenn Sie Dinge wie Diplexer bauen. Der gemeinsame Anschluss kann paradoxerweise als Kurzschluss betrachtet werden, da sich seine Spannung nicht mit der Frequenz ändert. Entwerfen Sie Hoch- und Tiefpassfilter mit abschließenden Reihenelementen zu einem Kurzschluss und verbinden Sie sie. Es ist auch sehr nützlich, wenn eine Schnittstelle zu kapazitiven Eingangslasten wie Pockells-Zellen aufgebaut wird. Entwerfen Sie einen Filter in einem offenen Stromkreis und absorbieren Sie dann die Lastkapazität in den letzten Nebenschlusskondensator im Filter.

Sogar Cheby-Filter der Ordnung haben einen Einbruch bei DC, der nicht mit gleichen Abschlüssen synthetisiert werden kann, was bei DC einen Einheitsgewinn ergeben würde.

Angepasste Impedanzen übertragen maximale Leistung in 2-Port-Geräten. (nach dem gleichnamigen Theorem) Wenn jedoch sowohl die Quellen- als auch die Lastimpedanz resistiv sind, verlieren Sie 6 dB an Leistung, so dass dies für Sender kostspielig ist, sodass einige 0-Ohm-Quellen für geringe Verluste von DC bis zum Haltepunkt verwenden können. Das Fehlen einer ohmschen Last macht das reaktive Filter mit hohem Q sehr resonant.

Die Quellenimpedanzanpassung ist also "optional", aber die Lastimpedanzanpassung ist wünschenswert, es sei denn, Sie möchten einen Resonanzfilter mit hohem Q. dh "Schwanzkreislauf"

Wo Wellenreflexionen Probleme durch nicht angepasste Impedanzen verursachen können, wird häufig eine konjugierte Anpassung verwendet, damit sich die +/- Reaktanz aufhebt.

Ich habe dieses Beispiel eines 1-kHz-LPF erstellt , der sich ändert, wenn Sie die 50 Ohm umgehen, damit Sie die Effekte sehen.

Das "LCL"-LPF kann eine Quellenimpedanz von Null haben.

Verwenden Sie den Cursor auf dem Diagramm im Link, um die Dämpfung abzulesen. (autoskaliert)