Elektromagnetisches Moment

Ich kenne die Experimente oder die Geschichte nicht, aber hier sind drei klassische Berechnungen, die Ihnen das geben, was Sie wollen:

Methode 1: Testladung und ebene elektromagnetische Welle

Stellen Sie sich wie in Abschnitt 34-10 des ersten Feynman Lectures on Physics Volume eine ebene Welle und eine Testladung am Ursprung vor. Lassen Sie an dieser Stelle$\mathbf{E} = E \,\hat{\mathbf{x}}$,$\mathbf{B} = \frac{E}{c} \,\hat{\mathbf{y}}$: Dies ist eine ebene Wellenlösung der Maxwell-Gleichungen. Dann schwingt die Ladung in der$\hat{\mathbf{x}}$-Richtung, also nehmen wir an, dass es sich zum betrachteten Zeitpunkt mit Geschwindigkeit bewegt$\mathbf{v} = v\,\hat{\mathbf{x}}$. Die Rate der Wirkung des elektromagnetischen Feldes auf das Teilchen durch das elektrische Feld ist$P = q \,E \,v$, also absorbiert die Ladung mit dieser Rate Energie aus dem Feld. Beachten Sie, dass die elektrische Kraft auf das Teilchen oszillierend ist und einen zeitlichen Mittelwert von null hat. Aber gleichzeitig ist die magnetische Kraft auf das Teilchen$\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\wedge \mathbf{B}$Und$F=q\,v\,\frac{E}{c}$.$\mathbf{E}$Und$\mathbf{B}$sind gleichphasig, und die Teilchengeschwindigkeit im stationären Zustand trägt eine konstante Phasenbeziehung zu$\mathbf{B}$, also beides$P$Und$\mathbf{F}$oszillieren gleichphasig mit der doppelten Lichtfrequenz und mit einem zeitlichen Durchschnitt ungleich Null, und das Verhältnis dieses Durchschnitts von oben ist$\frac{P}{F} = \frac{q \,E \,v}{q\,v\,\frac{E}{c}} = c$. Die Kraft ist einfach die Zeitrate der Impulsübertragung. Also immer dann, wenn das elektromagnetische Feld Energie überträgt$W$auf ein Teilchen überträgt es auch Impuls$\frac{W}{c}$.

Methode 2: Trägheitsenergiegehalt

Wir stellen uns einen Energiepuls vor$W$von einem Ende eines Raumschiffs emittiert und am anderen absorbiert. Aber der Trägheitsgehalt dieses Impulses ist$\frac{W}{c^2}$. Oberflächlich scheint es also, dass sich der Massenmittelpunkt des Systems verschiebt (durch Einkerbung der Bewegungsenergie), während der Lichtpuls fliegt. Die Impulserhaltung wäre verletzt, wenn diese Annahme wahr wäre. Allerdings kann man den Widerspruch auflösen, wenn man annimmt, dass das Raumschiff beim Start des Lichtpulses einen Rückstoß spürt. Also, wenn die Masse des Raumschiffs ist$M$, muss es sich mit Geschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung zum Licht bewegen$c \frac{W}{c^2} \frac{1}{M}$, weil diese Geschwindigkeit den Massenmittelpunkt des Systems ruhig hält. So bekommen wir$\frac{W}{c}$für den Schwung des Pulses.

Beachten Sie, wie wir, wenn wir die Umkehrung von Methode 2 zusammen mit Methode 1 verwenden (dh den Strahlungsdruck und damit den Schub auf das Raumschiff kennen), aus den ersten Prinzipien ableiten könnten, dass die effektive Masse des Lichts, die zur Aufrechterhaltung der Impulserhaltung erforderlich ist, lautet$\frac{E}{c^2}$.

Methode 3: Einfall einer ebenen Welle auf ein Metall

Dies ist eigentlich ein Spezialfall von Methode 1 (die allgemeiner ist), aber es hat einen einstellbaren Parameter (die Leitfähigkeit des Spiegels), der verwendet werden kann, um zwei verschiedene Verhaltensweisen zu veranschaulichen. Ich verwende die Konvention$\partial_t \mapsto -i\,\omega$Wo$\omega$ist die Kreisfrequenz des Feldes.

Lassen Sie die$x-y$Flugzeug ( bzw $z=0$) das Gesicht eines Spiegels sein: z$z<0$Wir haben einen Freiraum, der durch die elektrischen und magnetischen Konstanten des Freiraums gekennzeichnet ist$\epsilon_0$Und$\mu_0$, für$z>0$Wir haben ein Metall mit elektrischer Konstante$\epsilon$, magnetische Konstante$\mu$und Leitfähigkeit$\sigma$. Im freien Raum gibt es eine einfallende ebene Welle, so dass in der Ebene$z=0$:

Elektrisches Feld:$\mathbf{E} = E_i \hat{\mathbf{x}}$

Magnetfeld:$\mathbf{H} = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}}\, E_i \hat{\mathbf{y}}$

und es gibt auch eine reflektierte ebene Welle ($E_r$abzuleiten ist) so dass:

Elektrisches Feld:$\mathbf{E} = E_r \hat{\mathbf{x}}$

Magnetfeld:$\mathbf{H} = -\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}}\, E_r \hat{\mathbf{y}}$

Das auf dem Magnetfeld angenommene entgegengesetzte Vorzeichen steht für eine Welle, deren Wellenvektor in den zeigt$-\hat{\mathbf{z}}$Richtung. Die einfallende Welle läuft in die$+\hat{\mathbf{z}}$. Im Metall hat das Feld die folgende Abhängigkeit, wie durch Auffinden einer ebenen Wellenlösung für die Maxwell-Gleichungen nachgewiesen werden kann (wiederum ist E_m abzuleiten):

Elektrisches Feld:$\mathbf{E} = E_m \,e^{\gamma\,z}\, \hat{\mathbf{x}}$

Magnetfeld:$\mathbf{H} = -i\,\frac{\gamma}{\omega\,\mu}\, E_m \,e^{\gamma\,z}\, \hat{\mathbf{y}}$

Stromdichte:$\mathbf{J} = \sigma\,E_m \,e^{\gamma\,z}\, \hat{\mathbf{x}}$

wo die komplexe Wellenzahl ist:

$\gamma = \frac{-1+i}{\sqrt{2}} \sqrt{\omega\mu\left(\sigma-i\, \omega\,\epsilon\right)}$

gewählt wird (es gibt zwei Möglichkeiten$\pm$Werte aus den Maxwell-Gleichungen für$\gamma$), so dass das Feld exponentiell abfällt$z\rightarrow\infty$.

Aus den üblichen elektromagnetischen Randbedingungen an der Grenzfläche (Stetigkeit der Tangentialkomponenten von$\mathbf{E}$Und$\mathbf{H}$über die Schnittstelle):

$E_i + E_r = E_m$

$E_i - E_r = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \frac{\gamma}{i\,\omega\,\mu}\,E_m$

woher:

$E_m = \frac{2\,E_i}{1 + \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \frac{\gamma}{i\,\omega\,\mu}}$

Nun ist die zeitlich gemittelte Kraft pro Flächeneinheit auf dem Metall:

$\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\int\limits_0^\infty \mathbf{J} \wedge \mathbf{B}^* . \hat{\mathbf{z}}\right) = \frac{\mathrm{Im}(\gamma)\,\sigma\,|E_m|^2}{4\,\omega\,\mathrm{Re}(\gamma)} = \frac{\mathrm{Im}(\gamma)\,\sigma\,|E_i|^2}{\omega\,\mathrm{Re}(\gamma) \left|1 + \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \frac{\gamma}{i\,\omega\,\mu}\right|^2}$

Nun ist die zeitgemittelte Leistung pro Flächeneinheit, die auf die Grenzfläche einfällt (durch Berechnung des Poynting-Vektors):

$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} |E_i|^2$

so dass der Impuls, der für jede Einheit der einfallenden Energie auf das Metall übertragen wird, ist:

$\frac{2\,\mathrm{Im}(\gamma)\,\sigma}{\omega\,\mathrm{Re}(\gamma) \left|1 + \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \frac{\gamma}{i\,\omega\,\mu}\right|^2} \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}$

Das ist das Verhältnis, das wir anstreben. Im Falle$\sigma\rightarrow \infty$dieses Verhältnis nähert sich$\frac{2}{c}\frac{\mu}{\mu_0}$. Für$\mu = \mu_0$ist dies das Doppelte des in Methode 1 und 2 errechneten Wertes, da die unendliche Leitfähigkeit das Feld vom Metall ausschließt, kein Verlust entsteht und Licht verlustfrei reflektiert wird. Also, genauso wie es einen Impuls gibt$2\,p_z$durch einen elastischen Aufprall einer Kugel zunächst mit Impuls mit Komponente auf eine Wand übertragen$p_z$in die Wand, so auch der Impuls, der von der Energie auf den Spiegel übertragen wird$W$ist doppelt so groß wie der Impuls des einfallenden Lichts, dh $\frac{2\,W}{c}$.

Jetzt lassen wir$\sigma\rightarrow 0$so dass$\gamma\approx -i \,\omega\,\sqrt{\mu\,\epsilon} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \sigma$. Ich werde diesen Fall später beenden, aber er liefert die gleiche Antwort wie die Methoden 1 und 2, wenn$\mu = \mu_0$Und$\epsilon = \epsilon_0$, dh das Licht tritt ohne Reflexion in ein schwach leitendes Medium ein und wird absorbiert.

Maxwells Gleichungen stimmen nicht mit der Galileischen Relativitätstheorie überein. Sie sind implizit relativistisch. In der Relativitätstheorie ist die Definition von Masse$m^2=E^2-p^2$. Für einen Lichtstrahl,$m=0$, So$E=|p|$.