Erde als Trägheitsbezugssystem: Effekte endlicher Radien

Unterscheiden sich diese Korrekturen von der Erdrotation (oder drücken sie wirklich dasselbe aus)?

Die Antwort von Luboš Motl beschrieb den Beitrag der Raumzeitkrümmung als Abweichungen von der flachen Raumzeit. In der flachen Raumzeit findet man immer ein globales Trägheitsbezugssystem, und aufgrund der von ihm erwähnten „automatisch garantierten“ Tatsache wissen wir, dass man in der gekrümmten Raumzeit immer ein lokales Trägheitssystem finden kann, in dem Abweichungen von der Trägheit in Raum und Zeit zweiter Ordnung sind.

Ebenheit bedeutet, dass die Schwerkraft gleichförmig oder nicht vorhanden ist. Die Krümmung der Raumzeit bedeutet, dass die Schwerkraft ungleichmäßig ist, was die Schwerkraft der Gezeiten ist. Je weiter man sich in der gekrümmten Raumzeit entfernt, desto ungleichmäßiger ist die Schwerkraft. Dies bewirkt, dass räumlich getrennte Geodäten relativ zueinander stärker beschleunigen als benachbarte Geodäten.

Luboš Motl hat in seiner Antwort einen Fehler gemacht, nämlich zu behaupten, dass die größten Beiträge von Mond und Sonne kommen. Die größte Quelle ungleichmäßiger Schwerkraft in Erdnähe ist die Erde selbst. Aufgrund der Krümmung und der endlichen Größe der Erde beschleunigen Geodäten auf gegenüberliegenden Seiten der Erde mit 2 g aufeinander zu, was jeden Beitrag von Mond oder Sonne überschwemmt. Es ist diese Ungleichmäßigkeit der Schwerkraft, diese Krümmung der Raumzeit, die verhindert, dass sich die Erdoberfläche ausdehnt, obwohl sie mit 1 g nach außen beschleunigt wird.

Da Ihr Interessenbereich eine immer größere Fläche abdeckt, nehmen die Abweichungen von der Ebenheit zu. In einem kleinen Labor können wir also frei fallende Objekte als Trägheit behandeln. Wenn sie relativ zueinander in Ruhe beginnen, bleiben sie ungefähr gleich weit voneinander entfernt. Über eine große Region, wie die ganze Erde, geht das nicht. Frei fallende Objekte, die anfangs relativ zueinander ruhen, bleiben nicht im gleichen Abstand voneinander.

Können sie durch die Erdrotation kompensiert werden?

Nein. Sie haben nichts mit der Erdrotation zu tun. Die oben von mir und in der anderen Antwort von Luboš Motl beschriebenen Effekte gelten für ein nicht rotierendes Objekt. Die Erdrotation erzeugt einen zusätzlichen, aber sehr kleinen Effekt. Das habe ich hier vernachlässigt.

Was sind die Beschränkungen für die Größe/den Radius der Erde, um diese Korrekturen klein zu machen (z. B. im Vergleich zu der an der Oberfläche erfahrenen Schwerkraft)?

Damit die Krümmungskorrekturen klein sind, müssen Sie grundsätzlich einen ausreichend kleinen Raum- und Zeitbereich haben, damit ruhende Objekte im freien Fall ihre Abstände zueinander nicht merklich ändern. Wenn Ihr Zimmer klein genug ist, dass alles in die gleiche Richtung fällt, sollte es Ihnen gut gehen. Wenn Sie ein Labor haben, das sich über einen Kontinent erstreckt, werden Objekte, die auf eine Seite des Labors fallen, leicht in Richtung auf Objekte beschleunigt, die auf die andere Seite des Labors fallen.

Unterscheiden sich diese Korrekturen von der Erdrotation (oder drücken sie wirklich dasselbe aus)? Können sie durch die Erdrotation kompensiert werden?

Sie sind verschieden und sie können es nicht.

Betrachten Sie als klares Beispiel die Gezeiten unserer Ozeane. An einem Ort am Äquator der Erde steigen die Gezeiten, an einem anderen fallen sie. Im rotierenden Rahmen ist die Zentrifugalkraft entlang des gesamten Äquators gleich, daher gibt es keine Möglichkeit, diesen Effekt der Rotation zuzuschreiben.

In der Antwort von Luboš behauptet er, dass sich das Zentrum der Erde entlang der Geodätischen bewegt (dh träge ist), aber je weiter Sie vom Zentrum entfernt sind, desto größere nicht-träge Effekte werden Sie erfahren. Diese Effekte sind darauf zurückzuführen, dass zwei parallele Geodäten nicht lange parallel bleiben - es gibt eine geodätische Abweichung. Wenn wir also zwei frei fallende Teilchen in der Nähe der Erde haben, die anfänglich parallel sind (in vierdimensionaler Ansicht reicht 3D-Parallelität nicht aus), werden sie beginnen, sich voneinander weg oder näher zueinander zu bewegen, genau wie in Abbildung 4 in diese Wiki-Seite . Die Formel für Gezeiteneffekte ist zusammen mit einigen Werten auf der Seite angegeben.

Aber die Sache ist, wir mischen zwei Frameworks zusammen. In GR könnte man das Erdträgheitsgerüst kaum berücksichtigen, da alles auf der Erdoberfläche mit einer ziemlich signifikanten Beschleunigung nach oben beschleunigt wird. Jeder Ingenieur berücksichtigt dies, wenn er ein Auto oder ein Gebäude konstruiert, daher kann die Frage, ob die Erde ein Trägheitskörper ist, nur im Rahmen der Newtonschen Gravitation interpretiert werden. Dort sind die Gezeitenkräfte nicht auf das Versagen unseres Rahmens als Trägheit zurückzuführen, sondern auf die gravitative Wechselwirkung zwischen Körpern. Aus dieser Sicht kann die Erde als träge angesehen werden.

Aber wir wissen, es dreht sich um seine eigene Achse und um die Sonne. Durch die Drehung um die Achse wird die Oberfläche nicht träge, wie Sie in Ihrer Antwort richtig angegeben haben. Wenn wir die Drehung unseres Rahmens durch die fernen Sterne fixieren, werden wir diese los und die Drehung um die Sonne erzeugt die größte Nichtträgheit in unserem Rahmen.

Im Newtonschen Rahmen betrachtet man frei fallende Körper nicht als träge, sondern als beschleunigt. Aus dem Äquivalenzprinzip wissen wir jedoch, dass diese Beschleunigung frei fallender Körper den Trägheitsrahmen ziemlich genau simuliert, wir müssen nur die Gravitationskraft ignorieren, die den freien Fall bestimmt. Um die Bewegung der Erde um die Sonne im Rahmen der Erde zu beschreiben, müssten wir im Newtonschen Rahmen die Gravitationskraft der Sonne und die Zentrifugalkraft aus der Nichtträgheit unseres Rahmens berechnen, und wir kommen zu dem Schluss, dass sie sich gegenseitig aufheben. Dies ist mathematisch gleichbedeutend mit der Behauptung, dass der Rahmen der Erde in seiner Nähe träge ist und es kein Gravitationsfeld von der Sonne gibt. Genau das tun Ingenieure. Sie gehen davon aus, dass die Erde ein Trägheitsrahmen ist und kümmern sich nicht um die Schwerkraft der Sonne.

Davon abgesehen bewegt sich der Erdmittelpunkt nicht auf einer Geodäte, aber dies ist ein anderer Effekt als die Gezeitenkräfte, die Luboš beschreibt. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass jedes Teilchen, aus dem die Erde besteht, versucht, sich auf seiner eigenen Geodäte zu bewegen, aber intermolekulare Kräfte dies verhindern und die resultierende Bewegung als Kompromiss bezeichnet werden könnte. Aber das ist ein sehr kleiner Effekt, wahrscheinlich nicht einmal der Rede wert.