Erläuterungen zum Faradayschen Induktionsgesetz - Flächenänderung im Laufe der Zeit

Ich überprüfe die Maxwell-Gleichungen in der Hoffnung, sie besser zu meistern als auf der Schulbank.

Das Faradaysche Induktionsgesetz lässt mich mit einer Frage zurück, die ich nicht ganz verstehen kann.

Erstens besagen die Gesetze von Lenz, dass die Beziehung der EMF zum Magnetix-Fluss ist:

E M F = − D Φ B D T

Dann das Magentix-Flussmittel Φ B wäre durch das Flächenintegral der Flussdichte gegeben.

Φ B = ∬ S B ⋅ D S

Nun, Wikipedia gibt an, dass das Faradaysche Induktionsgesetz wie folgt lautet.

∮ Σ E ⋅ D ℓ = − ∫ Σ ∂ B ∂ T ⋅ D A

Was mich verwirrt, ist, dass die Flussableitung innerhalb des Oberflächenintegrals liegt. Eine einfache Substitution der Flussvariablen in den beiden ersten Gleichungen würde die Flussableitung außerhalb des Flächenintegrals machen.

Ich weiß, dass ich die Zeitableitung aus dem Flächenintegral herausholen kann, wenn dA konstant ist, das ist rein mathematisch. So wie ich die oben dargestellte Faraday-Gleichung verstehe, wirkt sich eine Änderung der Fläche im Laufe der Zeit nicht auf die EMF aus.

Andererseits erklärt eine der Online-Demonstrationen von Professor Walter Lewins den Fall eines gleitenden Kupferstabs im Stromkreis, der EMF in einer geschlossenen Schleife induziert, wenn die Fläche für ein konstantes Magnetfeld wächst.

Wenn wir diese Übung mit einem konstanten Feld B=10und einem Bereich machen, der sich ändert, würde ich verstehen, dass wir Folgendes erhalten würden:

E M F = ∮ Σ E ⋅ D ℓ = − ∫ Σ ∂ 10 ∂ T ⋅ D A ( T ) = − ∫ Σ 0 ⋅ D A ( T ) = 0
Liege ich falsch ?

Was fehlt mir hier?

Danke

Antworten (1)

Was mich verwirrt, ist, dass die Flussableitung innerhalb des Oberflächenintegrals liegt.

Die partielle Ableitung innerhalb des Integrals stammt von der Leibniz-Integralregel (siehe unten).

Betrachten Sie die verallgemeinerte Form der Maxwell-Faraday-Gleichung:

∮ E ⋅ D ℓ = − ∫ Σ ∂ B ∂ T ⋅ D A

Dies gilt für jeden Pfad ∂ Σ , was jede geschlossene Kontur ist, die die Oberfläche begrenzt Σ .

Erinnern Sie sich jetzt an die verallgemeinerte Form der Leibniz-Integralregel:

D D T ∫ B ( X ) A ( X ) F ( X , T )   D T = F ( X , B ( X ) )   D D T B ( X ) − F ( X , A ( X ) )   D D T A ( X ) + ∫ B ( X ) A ( X ) ∂ ∂ T F ( X , T )   D T

Ist Ihnen aufgefallen, dass die Grenzen des obigen Integrals keine Konstanten sind?

Der Term auf der rechten Seite der verallgemeinerten Maxwell-Faraday-Gleichung ist ein Oberflächenintegral (und natürlich ein Integral um ∂ Σ ist ein Linienintegral) und die partielle Ableitung innerhalb dieses Integrals zeigt an, dass es keine gibt ∂ Σ Weg ist zeitabhängig . Deshalb schreiben wir die Maxwell-Faraday-Gleichung in verallgemeinerter Form, weil wir das nicht garantieren können ∂ Σ ist konstant.

Schauen wir uns nun noch einmal die Leibniz-Regel an, wenn die Grenzen Konstanten sind . Die ersten beiden Terme der rechten Seite werden Null und das Integral nimmt seine eigene spezielle Form an:

D D T ∫ B A F ( X , T )   D T = ∫ B A ∂ ∂ T F ( X , T )   D T

Daraus können wir eine Schlussfolgerung ziehen: Wenn der Pfad ∂ Σ , die die Oberfläche begrenzt Σ , ändert sich nicht mit der Zeit , Maxwell-Faraday-Gleichung wird zu:

∮ E ⋅ D ℓ = − D D T ∫ Σ B ⋅ D A

HINWEIS: Ich habe die Leibniz-Integralregel für eine einzelne Dimension geschrieben und Erläuterungen dazu gegeben, nur um die Dinge einfacher zu machen, aber das Gleiche gilt für höhere Dimensionen.

Hmm, welchen Schluss kann ich aus dieser Aussage ziehen?
@Pier-YvesLessard Ich dachte, Sie fragen, woher die Zeitabhängigkeit von dA kommt. Also habe ich versucht, es zu zeigen. Habe ich falsch verstanden?
@ Rohat Kılıç: Vielleicht verstehe ich die Antwort nicht richtig. Die Zeitableitung außerhalb des Integrals zu haben, wie Sie es getan haben, ist für meine Intuition sinnvoll und scheint mit dem Gleitstangenproblem übereinzustimmen. Aber die Wikipedia-Gleichung zeigt eine Zeitableitung innerhalb des Flächenintegrals.
@Pier-YvesLessard Ah, ok. Jetzt hab ich es verstanden. Verzeihung. Ich aktualisiere meine Antwort.
Stimmt, die Leibniz-Regel kannte ich noch nicht. Ich bin immer noch etwas verwirrt. Erstens ist die von Ihnen vorgeschlagene Schlussfolgerung etwas, von dem ich gesagt habe, dass ich es in meiner Frage wusste (obwohl ohne den soliden mathematischen Hintergrund, den Sie gezeigt haben). Andererseits ist der linke Term das, was ich durch Ersetzen des Lenzschen Gesetzes und der Definition des Magnetix-Flusses erhalten würde, während das Faradaysche Gesetz nur einen der drei Terme ganz rechts enthält. Ich habe Probleme, alle Gleichungen miteinander in Beziehung zu setzen. Ich habe meine Frage bearbeitet, um meine mathematische Argumentation zu zeigen (was höchstwahrscheinlich falsch ist), vielleicht wird es dadurch klarer. Danke
Erläuterungen zum Faradayschen Induktionsgesetz - Flächenänderung im Laufe der Zeit
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