Finden elektronischer Energieniveaus durch Darstellungstheorie

Lassen

u = ( C 1 C 2 C 3 C 4 ) T
für
ψ = C 1 ψ 1 + C 2 ψ 2 + C 3 ψ 3 + C 4 ψ 4

Wir nehmen an, dass ⟨ ψ ich | ψ J ⟩ = δ ich J so dass

⟨ ψ | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ϕ ⟩ = | C 1 | 2 + . . . + | C 4 | 2

Lassen U sei die Darstellung der Symmetriegruppe C 4 v auf diesen 4-dimensionalen Zustandsraum von Elektronen.

Ich weiß für jeden R ∈ C 4 v , T ( R ) u ist auch ein Eigenvektor mit demselben Eigenwert:

(1) H ( T ( R ) u ) = ϵ ( T ( R ) u )
Hier meine Frage:

  • Angenommen, unser Hamiltonoperator ist gegeben als
    H = ( ϵ 0 T T ' T T ϵ 0 T T ' T ' T ϵ 0 T T T ' T ϵ 0 )

Wie finde ich Energieeigenwerte von H unter Verwendung der Zerlegung von U und Gl ( 1 ) ?

Hinweis: Ich fand die Zerlegung als

U = A 1 ⊕ E

Antworten (1)

Nun, vielleicht möchten Sie nicht wirklich darüber nachdenken. Es hängt alles von der Pauli-Matrix ab σ 1 das ist ja die Permutationsgruppe mit zwei Komponenten, mit Eigenwerten ± 1 für v T = ( 1 , 1 ) , symmetrisch und w T = ( 1 , − 1 ) , antisymmetrisch.

Äquivalent zu Ihrer Zerlegung können Sie den Hamiltonian schreiben als

H = ϵ 0 ICH 4 + T   ( σ 1 + ICH 2 ) ⊗ σ 1 + T '   σ 1 ⊗ ICH 2 ,
wobei meine Konvention den rechten Tensorprodukt-2x2-Faktor in die Einträge des linken 2x2-Faktors einfügt. Natürlich ergibt der 3. Term multipliziert mit dem 2. Term den 2. Term, wenn man die numerischen Koeffizienten t , t' vernachlässigt.

Das ist dann bei einer Inspektion ersichtlich ϵ 0 ist eine gemeinsame additive Verschiebung zu allen Eigenwerten; und dass die vier Eigenvektoren unvermeidlich sind v ⊗ v , v ⊗ w , w ⊗ v , w ⊗ w , mit manifesten Eigenwerten 2 t + t' ; -2 t + t' ; - t' ; - t' . Also hinzufügen ϵ 0 an alle von ihnen zu tun. Indem Sie den rechten Vektor in die Komponenten des linken Vektors einfügen, können Sie die 4-Vektoren wiederherstellen und überprüfen, wodurch die ursprüngliche algebraische Implizitheitsabsicht der Übung untergraben wird.

Beachten Sie den 3. Term der Hamilton-Quadrate zur Identität, der zweite projiziert w auf den linken Tensorraum, während der 3. gleichgültig (identisch) auf den rechten Tensorraum wirkt, woraus die Entartung zwischen dem 3. und 4. Eigenvektor resultiert, und das identische t'- Stück der Eigenwerte des 1. und 2.

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