Formeln zum Ausführen in einem Volladdierer

Boolescher Algebra-Ansatz
Die Äquivalenz der beiden Formen kann unter Verwendung von boolschen Identitäten bewiesen werden

Beginnen Sie mit dem zweiten Ausdruck

$$C_{out} = A B + (A \oplus B)C_{in}$$ Mit der Erweiterung, $$A \oplus B = \bar AB + A \bar B \quad \text{ for XOR}$$ Die rechte Seite wird $$AB + \bar A B C_{in} + A \bar B C_{in} \tag{1}$$ Wenn wir B zwischen den ersten beiden Termen gemeinsam nehmen, erhalten wir (Eigenschaft der Booleschen Algebra) $$B(A + \bar AC_{in})$$ Verwendung der Tatsache, dass sich die Addition über die Multiplikation verteilt (in boolescher Algebra) $$A + BC = (A + B)(A + C) \tag{2}$$ Daher wird der Begriff $$B((A + \bar A)(A + C_{in})) = AB + BC_{in}$$ Stecken Sie dies wieder in (1) und verwenden Sie die Eigenschaft (2) mit $$B+ \bar B C_{in}$$ Wir erhalten die alternative Form $$AB + BC_{in} + C_{in} \tag {3}A$$ Intuitiver Ansatz

Die Form (3) ist wahr oder 1, wenn zwei beliebige der 3 Eingaben 1 sind. Dies ist der Fall, da es genau dann einen Übertrag gibt, wenn (wenn) wir mindestens 2 1en hinzufügen.

Die XOR-Form hingegen suggeriert eine andere Sichtweise. Es behandelt den Eingangsübertrag anders als die anderen 2 Eingänge A und B. Effektiv bedeutet dies, dass der Übertrag 1 ist, wenn sowohl A als auch B 1 sind (der AB-Term) oder genau einer von A und B 1 ist und Cin 1 ist Beachten Sie, dass dies unnötig spezifisch ist und wir stattdessen sagen könnten, dass Teil 2 der Bedingung lautet, dass entweder A oder B (oder beide) 1 sind und Cin ebenfalls 1 ist.

In boolescher Form wäre dies

$$AB + (A+B)C_{in}$$ Das ist dasselbe wie (3)

Dem OP wird empfohlen, sich auf die Eigenschaften und Axiome der Booleschen Algebra zu beziehen , um ähnliche Äquivalenzen zu beweisen.