Frage zum Dopplereffekt

Bevor ich anfange, lassen Sie mich nur sagen, dass dieses Thema weitaus komplizierter ist, als Sie es dargestellt haben und was ich zeigen werde. Das Problem dabei ist, dass letztendlich alles, was Sie getan haben und was ich tun werde (in geringerem Maße), Annäherungen und Annahmen verwendet. Aus diesem Grund kann es manchmal schwierig sein, die wahre zugrunde liegende Physik zu verstehen, wenn man nur die "einfachen" Versionen dieser Gleichungen betrachtet.

Sie sagen, dass Sie gehört haben, dass die Quelle der beiden darin besteht, das Signal zu empfangen und es zu reflektieren, was völlig wahr ist. Betrachten wir den einfacheren Fall eines Polizeibeamten, der Radar verwendet, um die Geschwindigkeit eines Autos zu verfolgen (nur damit wir nicht die komplizierteren Konzepte der Orbitalbewegungen von Satelliten, Dispersionsbeziehungen usw. mitschleppen müssen). Sie haben einen Polizeibeamten, der bereitsteht am Straßenrand mit einer Radarkanone, die Radarwellen einer bestimmten Frequenz abfeuert$f_o$am Auto, wenn es sich von ihm entfernt (beachten Sie, dass ich die Frequenz verwenden werde, aber es ist völlig analog zur Wellenlänge, unter der Annahme einer einfachen Dispersionsbeziehung). Diese Welle wandert zum Auto und die erste Spitze der Welle trifft das Auto. Das Auto hat dann Zeit, sich leicht vorwärts zu bewegen, bis die nächste Spitze das Auto trifft. Aus der Perspektive des Autos wurde aufgrund seiner relativen Bewegung zum Polizisten die Frequenz der Welle, die das Auto trifft, auf eine neue Frequenz dopplerverschoben,$f_1$. Diese neue Frequenz ist durch die Doppler-Gleichung gegeben

$$\frac{f_1}{f_o} = \left(1+\frac{v}{c}\right)$$

Beachten Sie, dass diese Gleichung mit der von Ihnen vorgestellten identisch ist, außer dass sie die Frequenz anstelle der Wellenlänge verwendet. Unser Auto wurde also von diesen frequenzverschobenen Wellen getroffen. Es wird diese Wellen nun zum Polizisten zurückwerfen. Der Reflexionsprozess macht das Auto quasi zum Sender der Frequenz$f_1$Da es sich aber offensichtlich in Bezug auf das Polizeibüro bewegt, empfängt der Polizist eine Doppler-verschobene Frequenz, die ich anrufen werde$f_2$. Da ist die Geschwindigkeit zwischen dem Auto und dem Polizisten noch$v$, wissen wir, dass die Doppler-Gleichung für die Frequenzverschiebung der Reflexion gegeben ist durch

$$\frac{f_2}{f_1} = \left(1+\frac{v}{c}\right)$$

Nun erhält der Polizist eine Frequenz zurück$f_2$, aber er hat ursprünglich emittiert$f_o$, also will er die Geschwindigkeit wissen, die die Verschiebung verursacht hat$f_o$zu$f_2$. Glücklicherweise kann dies durch Kombinieren der beiden oben genannten Schichten bestimmt werden.

$$\frac{f_2}{f_o} = \frac{f_2}{f_1}\frac{f_1}{f_o} = \left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1+\frac{v}{c}\right)$$

$$\frac{f_2}{f_o} = \left(1+\frac{v}{c}\right)^2 = 1 + 2\frac{v}{c} + \frac{v^2}{c^2}$$

An dieser Stelle gehen wir davon aus$v^2/c^2 \ll v/c$und dieser Term zweiter Ordnung kann getrost ignoriert werden. Wir enden dann mit

$$\frac{f_2-f_o}{f_o} = \frac{\Delta f}{f_o} = \frac{2v}{c}$$

Was der Polizist misst, indem er die Radarpistole verwendet und die Doppler-Gleichung anwendet, ist$2v$, aber wir wissen natürlich, dass dies die doppelte Geschwindigkeit des Autos ist. Um also die tatsächliche Geschwindigkeit des Autos zu erhalten, muss die von der Radarkanone gemessene Geschwindigkeit durch zwei geteilt werden. Wie Sie hoffentlich sehen können, kommt diese 2 vom doppelten Empfangen und Reflektieren der Funkwellen durch das Auto. Das gleiche exakte Prinzip gilt, ob wir über Radarkanonen und Autos oder Satelliten und Planeten sprechen.

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_{Hinweis: Wie ich eingangs sagte, sind die Dinge weitaus komplizierter als ich dargestellt habe. Davon sind wir zum Beispiel ausgegangen$v^2/c^2 \ll v/c$. Um eine korrektere Antwort zu erhalten, würden Sie diesen Begriff in Wirklichkeit nicht fallen lassen wollen, und Sie würden das finden$v_r \ne 2v_p$wie Sie in Ihrer Antwort angegeben haben, und es steckt tatsächlich mehr dahinter. Das alles wird durch die Tatsache noch verschlimmert, dass die Doppler-Gleichung, mit der ich begonnen habe, bereits einige Annahmen eingebaut hatte. Die vollständig korrekte Gleichung ist komplizierter als das.}