Frage zum Einschwingverhalten in der Operationsverstärkerschaltung

Betrachten Sie die folgende Schaltung. Der Schalter schließt bei T = 0 . Die Spannungsquelle ist v 0 e − T / T 0 . Wir gehen davon aus, dass op ideal ist, also gibt es keine Spannungsdifferenz zwischen den Eingangsklemmen und keinen Strom durch den Eingang.

Ansatz 1

Für T > 0 das haben wir sofort v = R R + R v 0 e − T / T 0 = 1 2 v 0 e − T / T 0 .

Lassen ich L der Strom durch die Induktivität aus sein v Ö u T Zu v . Wir sehen das ich L = v / R = v 0 2 R e − T / T 0 . Wir haben v Ö u T − v = L D ich L D T = − v 0 L 2 R T 0 e − T / T 0 , und wir finden v Ö u T = v − v 0 L 2 R T 0 e − T / T 0 = v 0 2 ( 1 − L T 0 R ) e − T / T 0 .

Ansatz 2

Lassen Sie uns die Schaltung in der Laplace-Domäne analysieren. Wir lassen also die Spannungsquelle sein v 0 e − T / T 0 H ( T ) im Zeitbereich, wo H ( T ) ist die Stufenfunktion. Die Laplace-Transformation davon ist v 0 1 S + 1 / T 0 .

Auf die gleiche Weise wie zuvor, finden wir v ( S ) = v 0 2 1 S + 1 / T 0 . Wir haben auch v Ö u T − v = S L S L + R v Ö u T , woher v Ö u T = S L + R R v = v 0 L 2 R S + R / L S + 1 / T 0 = v 0 L 2 R ( 1 + R / L − 1 / T 0 S + 1 / T 0 ) . Die Umkehrung ergibt v Ö u T = v 0 L 2 R δ ( T ) + v 0 2 ( 1 − L T 0 R ) e − T / T 0 .

Fragen

Anscheinend nehmen wir mit dem zweiten Ansatz eine Delta-Verteilung auf. Offensichtlich kann dies in einer realen Schaltung nicht vorkommen, also nehme ich an, dass das Problem irgendwie in unseren Annahmen über die Idealität des OP liegt?

Stimmt es dann im Allgemeinen, dass wir das transiente Verhalten idealer OP-Schaltungen im Laplace-Bereich nicht analysieren können? (Oder müssen wir dabei alle nichtphysikalischen Terme vernachlässigen?).

schematisch

Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan

Antworten (2)

Offensichtlich kann dies in einer realen Schaltung nicht vorkommen

Sie haben mehrere Probleme.

Sie verwenden Ableitungen für etwas Diskontinuierliches. Das funktioniert meistens nicht. Außerdem geht die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers bei t = 0 auf unendlich. Ich erkläre es jetzt...

Der Schalter schließt bei T = 0 . Die Spannungsquelle ist v 0 e − T / T 0 .

Also, nach den zwei ziemlich nutzlosen Widerständen, die dies durch 2 teilen, wenn T = 0 − was einen winzigen Moment vor t = 0 ist, haben wir v = 0 . Dann bei T = 0 der Schalter schließt und wir haben v = v 0 / 2 , also ist V unstetig.

Unser schöner perfekter Operationsverstärker muss seine Ausgangsspannung anpassen, um seine beiden Eingänge auf dem gleichen Potential zu halten. Bei t = 0 steigt also der Ausgang des Operationsverstärkers an. Es gibt jedoch eine perfekte Induktivität in der Rückkopplungsschleife. Und der Strom in einer Spule kann sich nicht sofort ändern. Und die negative Eingangsspannung V des Operationsverstärkers ist R ich L . Und bei t=0, ich L = 0 .

Somit ist die Spannung an den beiden Eingängen des Operationsverstärkers nicht gleich. IN+ liegt auf Vo/2 und IN- auf 0V. Das perfekte Opamp-Modell funktioniert also nicht mehr, aber Sie haben andere Probleme. Für den idealen Operationsverstärker gibt es nur eine Wahl ... seine Ausgangsspannung springt sofort auf +unendlich.

Nun, bei t = 0 Spannung über der Induktivität, die ist v ich N D u C T Ö R = L D ich L D T ist also +unendlich.

Wenn wir genug Mathematik brechen, die Teile über den Boden schütten und dann mit einem Panzer vorwärts und rückwärts darüber rollen, was Sie getan haben, können wir das integrieren und daraus schließen ∫ v ich N D u C T Ö R = L ich L und daher gleich nach t=0 mehr oder weniger geben oder nehmen, ich L = 1 / L ∫ + ∞ = v Ö / 2 R ...

Tada! Erledigt.

Nun, Ihr Problem ist, dass Sie dies nicht bemerkt haben, also haben Sie in "Ansatz 1" das falsche Ergebnis erhalten. Keine Schuld, wir alle machen Fehler, und das ideale Opamp-Modell lädt auch wirklich zu Fehlern ein, da jede Abweichung vom idealen Betriebspunkt unmögliche Bedingungen schafft.

Ich habe die Laplace-Transformationsberechnungen nicht überprüft, aber lassen Sie uns die Schaltung noch einmal untersuchen. Lassen Sie uns den Schalter und beide Widerstände wegwerfen und den "V" -Knoten als Eingang verwenden. Wir haben jetzt einen nichtinvertierenden Verstärker nach Moorstandard. Sein Gewinn ist:

G = 1 + L S / R

Nun geht, wie aus dieser Gleichung ersichtlich ist, G gegen unendlich, wenn die Frequenz ansteigt. Das funktioniert wie ein Unterscheidungsmerkmal. Aber es wird ein diskontinuierliches Signal als Eingang gegeben. Somit leitet es eine nicht ableitbare Eingabe ab. Daher haben Ihre Laplace-Ergebnisse ein Delta.

Bei unendlich hoher Frequenz ist die Impedanz des Induktors unendlich, es handelt sich also um einen offenen Stromkreis, den wir aus dem Schaltplan entfernen können: Bei diskontinuierlichen Eingängen hat der Operationsverstärker keine Rückkopplung mehr, sodass das ideale Operationsverstärkermodell nicht angewendet werden kann.

Im wirklichen Leben sind Operationsverstärker nicht unendlich schnell, daher verwandelt die durch die Induktivität in der Rückkopplungsschleife verursachte Phasenverzögerung den Operationsverstärker in einen Oszillator.

Diese Schaltung ist also eine Falle ;)

1. Warum sind die beiden Widerstände nutzlos? 2. Wo haben wir, wie Sie oben sagten, durch Null dividiert? 3. Bei hoher Frequenz ist der Induktor offen und wir haben keine Rückkopplung und können daher die Eigenschaft V + = V- hier nicht anwenden. Wie berechnen Sie also Vout für diese Schaltung? Die Methode sollte für jede Frequenz funktionieren, nicht nur für niedrige Frequenzen, wenn die Rückkopplung noch verfügbar ist. 4. Können Sie, wenn möglich, mehr darüber sagen, wie Oszillationen im realen Operationsverstärker auftreten?
1. weil sie ein triviales Problem ("durch zwei teilen") einführen, das vom Gesamtbild ablenkt (Schaltung funktioniert nicht). 2. war ein Verweis auf Internet-Meme, jetzt entfernt. 3. Bei hoher Frequenz verschwindet, wie Sie sagen, die Rückkopplung, sodass die Verstärkung der Schaltung unendlich wird, sodass der Ausgang abgeschnitten wird. Daher ist die Schaltung nichtlinear, und wir können keine linearen Werkzeuge (wie die Laplace-Transformation) verwenden, um sie zu untersuchen, das Ergebnis wird unrealistisch sein.
Beachten Sie, dass wir den Operationsverstärker stattdessen als Komparator betrachten könnten, aber ich glaube, das war nicht die Absicht. 4- Informieren Sie sich über en.wikipedia.org/wiki/Nyquist_stability_criterion und das einfachere Bode-Nyquist-Kriterium, die Kontrolltheorie. Der Induktor führt einen Pol ein, und während der ideale Operationsverstärker keine Pole hat (er hat einen perfekten Frequenzgang), hat ein echter Operationsverstärker einige Pole in seiner Open-Loop-Übertragungsfunktion (weil er nicht unendlich schnell ist). Unter Verwendung der einfacheren Kriterien auf einem Bode-Diagramm einer Übertragungsfunktion mit offener Schleife verursacht eine durch die zusätzlichen Pole eingeführte Phasenverschiebung eine Oszillation.
(Schwer zu erklären, ohne die gesamte Steuerungstheorie zu erklären! Wenn Sie in der Ingenieurschule sind, haben Sie eine Klasse darüber, ansonsten finden Sie Material im Internet, es ist eher notwendig, wenn Sie Opamps verwenden, wenn Sie möchten, dass sie es sind stabil...)
Danke für die Antworten. Mit der obigen Schaltung befindet sich die Schaltung bei niedriger Frequenz also immer noch im linearen Bereich, und wir können immer noch die lineare Theorie als Laplace-Transformation verwenden, um sie als Ansatz 2 oben zu untersuchen. Aber bei hoher Frequenz verhält sich der Operationsverstärker wie ein Komparator, also müssen wir ihn anders behandeln. Gibt es eine genaue Schwellenfrequenz, wo wir hier „Niederfrequenz“ und „Hochfrequenz“ klassifizieren können?
Der Ausgang ist proportional zur Ableitung des Eingangs, daher sollte der Eingang ableitbar sein (!!) und seine Ableitung innerhalb der zulässigen Ausgangsspannung des Operationsverstärkers begrenzt sein. In der Praxis würde ich aufgrund echter Operationsverstärker mit Phasenverschiebung vermuten, dass sie unabhängig vom Eingangssignal sowieso instabil wären.
Beachten Sie, dass in realen Schaltungen immer Rauschen vorhanden ist. Ein "perfekter Differenzierer" wie dieser hat eine mit der Frequenz zunehmende Verstärkung, sodass das HF-Rauschen verstärkt wird ... dies ist normalerweise ein Problem mit Differenzierern, der Eingang muss sehr sauber sein, oder Sie erhalten mehr Rauschen am Ausgang als Signal! Daher wird normalerweise eine Bandbreitenbegrenzung hinzugefügt, um das interessierende Band zu verstärken und den Rest zurückzuweisen.

Offensichtlich kann dies in einer realen Schaltung nicht vorkommen, also nehme ich an, dass das Problem irgendwie in unseren Annahmen über die Idealität des OP liegt?

Entweder das oder die Idealität des Induktors.

Ein echter Operationsverstärker würde keine Spannung ausgeben, die höher ist als seine Versorgungsspannung.

Eine echte Induktivität hat eine äquivalente parasitäre Parallelkapazität, die die tatsächliche Spannung begrenzt, die erforderlich ist, um einen Strom (kurzzeitig) durch sie zu treiben, um die Eingänge des Operationsverstärkers auszugleichen.

Stimmt es dann im Allgemeinen, dass wir das transiente Verhalten idealer OP-Schaltungen im Laplace-Bereich nicht analysieren können?

Im Allgemeinen können Sie mit realen Schaltungskomponenten kein echtes ideales Unterscheidungsmerkmal erstellen.

Frage zum Einschwingverhalten in der Operationsverstärkerschaltung
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