Gibt es ein gravitatives Analogon eines klassischen Rutherford-Atoms?

In einem Rutherford-Atom emittiert das Elektron klassischerweise EM-Strahlung mit einer durchschnittlichen Rate von

− D E D T = ω 4 e 2 R 0 2 3 C 3 ( 4 π ϵ 0 )
Wo ω ist die Winkelfrequenz, R 0 ist der anfängliche Umlaufbahnradius und das Elektron wird sich schließlich in den Kern hineinwinden. Nun, soweit ich weiß, kann das ganze Phänomen über Maxwell-Gleichungen erklärt werden. Darauf aufbauend und unter der Annahme, dass ein Satz gravitoelektromagnetischer Gleichungen für Massen gültig ist (was eine Annäherung an ein schwaches Feld ist), können wir nicht sagen, dass die Erde selbst eines Tages in die Sonne schrauben und kontinuierlich mit einer Rate strahlen sollte:
− D E D T = ω 4 G M e M S R e 2 3 C 3
Wo Symbole ihre übliche Bedeutung haben? Die mittlere Abklingzeit ergibt sich 4.75 × 10 11 Jahre.

Welchen Zahlenwert sagt Ihre Formel voraus und wie lange dauert es, bis wir in die Sonne fallen?
Das Erde-Sonne-System strahlt, siehe zB en.wikipedia.org/wiki/Gravitationswelle
Planeten sind keine Punktmassen und daher dominieren gewöhnlich Gezeiten-/Rotationseinflüsse die Evolution von Zweikörpersystemen. Jenseits einer bestimmten Entfernung (die eine synchrone Umlaufbahn sein kann, nicht sicher) neigen die Körper dazu, sich weiter auseinander zu bewegen (wie Mond und Erde). Wenn sie jedoch näher an einem bestimmten Punkt sind, neigen sie dazu, sich nach innen zu winden. Mehrkörpersysteme wie das Sonnensystem sind noch komplexer.

Antworten (2)

Gute Frage! Tatsächlich gibt es in GR ein analoges Phänomen zur Emission durch ein Rutherford-Atom, aber Ihre Formel beschreibt es nicht: Wie geschrieben, würde es für die dipolare Emission von Gravitationsstrahlung gelten, aber die Gravitationsemission beginnt nur in der Quadrupolordnung der Störung Ausdehnung, die durch einen Faktor unterdrückt wird ( v / C ) 2 im Vergleich zum Dipol.

Der Grund dafür, in Newtons Begriffen, ist, dass man beim Differenzieren des Gravitationsdipols den Gesamtimpuls des emittierenden Systems findet, der erhalten bleibt, also verschwindet die zweite Ableitung des Gravitationsdipols (siehe hier) --- das spiegelt die Tatsache wider dass wir im Elektromagnetismus nur einen Erhaltungssatz für die Ladung haben, in GR aber der volle Viererimpuls erhalten bleibt.

Die Formel, die den Energieverlust eines binären Systems aufgrund quadrupolarer Emission beschreibt, kann in diesem Wikipedia-Artikel gefunden werden ; beachten Sie das C 5 Begriff im Nenner im Gegensatz zu Ihrem C 3 . Es gibt auch einen versteckten Faktor von ω 6 (im Gegensatz zu ω 4 ) in der Wikipedia-Formel: Eine alternative Möglichkeit, die Strahlungsleistung (gemittelt über einen Zeitraum) auszudrücken, ist

− ⟨ D E D T ⟩ = 32 5 G μ 2 C 5 R 4 ω 6 ,
Wo μ = ( 1 / M S + 1 / M e ) − 1 ist die reduzierte Masse des Systems Erde-Sonne. Dies spiegelt die höhere Macht von v .

Um ein Gefühl für den Unterschied zu vermitteln, habe ich einige Zahlen eingefügt, und Ihr Ausdruck würde eine Energieverlustrate von etwa vorhersagen 3 × 10 14 W in der aktuellen Sonne-Erde-Konfiguration, während der korrekte GR-Ausdruck vorhersagt 2 × 10 2 W .

Es könnte sich auch lohnen, ausdrücklich darauf hinzuweisen, dass die beiden zusätzlichen Potenzen von v übersetzen in ein ω 6 Abhängigkeit für den Leistungsverlust, anstatt der bekannten ω 4 Abhängigkeit für die im OP angegebene Dipolstrahlung.
@MichaelSeifert Gute Idee! Ich habe einen alternativen Ausdruck für die Macht hinzugefügt, um diesen Punkt anzusprechen.
Ich höre es oft wiederholt, aber ich glaube nicht, dass die Quadrupolnatur der Strahlung etwas mit den Vorzeichen der verfügbaren Ladungen zu tun hat. Im E & M-Fall können Sie sicherlich Dipolstrahlung erhalten, indem Sie nur negative Ladungen bewegen: Das tun schließlich Antennen.
Es gibt ein Argument, dass Gravitation als Spin-2 bedeutet, dass nur positive Massen möglich sind, aber das ist eine umgekehrte Schlussfolgerung.
Sauber. Ich kann die Energie eines ganzen Sonnensystems nutzen, um zwei Glühbirnen zu betreiben. Oder zehn Glühbirnen, wenn ich die neumodische LED-Sorte nehme! Ist Physik nicht wunderbar?
@wnoise Du hast recht, dieses Argument funktioniert nicht wirklich. Ich habe meine Antwort korrigiert.

Darauf aufbauend und unter der Annahme, dass ein Satz gravitoelektromagnetischer Gleichungen gültig ist …

Gravitoelektromagnetische Gleichungen können nicht verwendet werden, um die Gleichungen der Gravitationsstrahlung zu schreiben, da diese Näherung Gleichungen für die metrische Störungskomponente betrifft H 00 , das ein Analogon des Skalarpotentials ist Φ Und H 0 ich , das ein Analogon des Vektorpotentials ist A . Aber für Strahlung muss man auch Gleichungen für Komponenten berücksichtigen H ich J (das kein elektromagnetisches Analogon hat), was eine Annäherung höherer Ordnung ist. Stattdessen muss man den vollständigen Satz linearisierter Gravitationsgleichungen verwenden.

Gravitationsstrahlung hat Quadrupolnatur im Gegensatz zu elektromagnetischer Strahlung , die Dipolcharakter hat. Folglich ist die Abstrahlung von Gravitationswellen ein Effekt fünfter Ordnung in Potenzen von 1 / C , während EM-Strahlung von dritter Ordnung ist.

Die erforderliche Gleichung für die Stärke der Gravitationsstrahlung eines Planeten in einer kreisförmigen Umlaufbahn um den Stern:

D E D T = 32 G μ 2 ω 6 R 4 5 C 5 ,
Wo μ = M 1 M 2 / ( M 1 + M 2 ) ist die reduzierte Masse des Systems „Stern–Planet“ (ggf M 1 ≪ M 2 , Dann μ ≈ M 1 ).

… können wir nicht sagen, dass die Erde selbst sich eines Tages in die Sonne schrauben sollte …

Für das Erde-Sonne-System ergibt diese Formel ungefähr 200 W der Gravitationsstrahlung. Dies ergibt eine „Lebensdauer“ durch Gravitationsstrahlung von ca 10 23 Jahre. Natürlich hat diese Zahl wenig mit dem tatsächlichen Schicksal der Erde zu tun, da sie wahrscheinlich von der Sonne verschluckt wird, wenn sie in die Phase des Roten Riesen eintritt, oder von einem vorbeiziehenden Stern aus dem Sonnensystem ausgestoßen wird.

Gibt es ein gravitatives Analogon eines klassischen Rutherford-Atoms?
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