In Texten über Physik, die Tensoren verwenden, werden sie normalerweise als multilineare Karten definiert. Also wenn ist ein Vektorraum über dem Feld , ein Tensor ist eine multilineare Abbildung:
In Texten zur multilinearen Algebra wird ein Tensor jedoch anders definiert. Sie betrachten eine Sammlung von Vektorräumen über demselben Feld betrachten wir den freien Vektorraum , betrachten Sie den Unterraum erzeugt durch Vektoren der Form
Und dann definiere das Tensorprodukt und definieren Tensoren als Elemente eines solchen Raums, die Äquivalenzklassen von Funktionen mit endlichem Träger sind .
Gibt es nun einige Fälle in der Physik, in denen es besser ist, als Tensoren als solche Äquivalenzklassen zu denken, anstatt als multilineare Abbildungen? Wenn ja, wie bekommen wir dann eine physikalische Intuition hinter diesen Objekten?
Die zweite Definition, die Sie bereitgestellt haben, ist eher für "Algebraisten" als für Physiker nützlich, aber in letzter Zeit gibt es nur wenige Kommunikationen zwischen Zahlentheorie und statistischer Physik, zum Beispiel im Bost-Connes-System oder im Lee-Yang-System von Ruelle verwenden die Leute dort endlich oder unendliche Gitter, um "Partitionsfunktionen" der quantenstatistischen Systeme zu definieren, tatsächlich benötigen Sie dort die zweite Definition von "Tensorprodukt", da Sie möglicherweise die über ein Modul definierte Theorie auf ein anderes Modul "erweitern" müssen, eigentlich die zweite Definition von Tensor Product ist hauptsächlich von der Galois-Theorie inspiriert, eine nützliche Referenz wäre "Bost, J.-B.; Connes, Alain (1995), "Hecke algebras, type III Factors and Phase Transitions with Spontan Symmetry Breaking in Number Theory", Selecta Mathematica.New Series 1 (3): 411–457, doi:10.1007/BF01589495 , ISSN 1022-1824 , MR 1366621 " für eine Anwendung der obigen Ideen.
Auch Penrose-Rindlers Buch „Spinors and Space-Time“ gibt eine sehr geometrische sowie physikalische Intuition hinter der ersten Definition von Tensor und ihren Produkten.
MBN