Gibt es notwendigerweise immer mindestens zwei Punkte, an denen das Erdmagnetfeld senkrecht steht?

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Es gibt mindestens zwei Punkte auf der Erde, an denen das Magnetfeld des Planeten nicht horizontal, sondern vertikal verläuft.

hat mich nachdenklich gemacht. Ich möchte es nicht aus dem Zusammenhang reißen, ich benutze es als Sprungbrett für eine andere Situation.

Für ein realistisches sphärisches harmonisches Modell des Erdfelds (z. B. World Magnetic Model of Degree and Order 12 ) ist es eine mathematische Notwendigkeit, dass es zwei Punkte auf einer sphärischen Annäherung an die Erdoberfläche gibt, auf denen die Richtung des Felds senkrecht steht Kugel?

Was wäre, wenn eine ellipsoidische Oberfläche gewählt würde, um die Form der Erdoberfläche besser widerzuspiegeln? Würde es noch mindestens zwei Punkte geben, die normal wären?

Hinweis: Ich verwende das Wort "vertikal" nicht in der erweiterten Aussage der Frage, da dies dann ein zweites Modell des Geopotentials erfordern würde und dann verschiedene Personen anders wählen würden, wenn ein Begriff, der ein Pseudopotential widerspiegelt, aufgenommen werden sollte oder nicht in der Definition von "vertikal".

unten: "Geodynamo Between Reversals", von hier aus, um zu veranschaulichen, dass die Quelle des Erdoberflächenfelds etwas ist, das nicht als einfacher Dipol betrachtet werden sollte.

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Man könnte auch fragen: Muss es unbedingt einen Punkt geben, wo die B -Feldvektor ist nach oben gerichtet (Winkel mit nach außen zeigender Flächennormale ist Null), und ein Punkt, an dem die B -Feldvektor zeigt nach unten (Winkel zur Außenflächennormalen beträgt 180 Grad bzw π )?
Eine andere Frage, die wir stellen könnten, ist: Gibt es notwendigerweise immer höchstens zwei Punkte, an denen das Magnetfeld der Erde vertikal ist? Als Beispiel heißt es im Nordmagnetpol von Wikipedia : „ Der Nordmagnetpol ist der Punkt auf der Oberfläche der Nordhalbkugel der Erde, an dem das Magnetfeld des Planeten senkrecht nach unten zeigt (mit anderen Worten, wenn man eine magnetische Kompassnadel um a drehen lässt horizontale Achse, es wird gerade nach unten zeigen). Es gibt nur einen Ort, an dem dies geschieht, ..." Warum in aller Welt (!) gibt es nur einen?
@JeppeStigNielsen Sie können Ihre Fragen als richtige Stackexchange-Fragen und nicht als Kommentare unter meiner Frage posten. Auf diese Weise können Sie ein Feedback zu Ihren Gedanken erhalten.
Ich habe das gemacht. Ihre Frage hängt übrigens etwas mit Muss jede magnetische Konfiguration einen Nord- und Südpol haben? .
Wenn Sie davon ausgehen, dass das Feld auf magnetische Dipole zurückzuführen ist, die sich tiefer als (z. B.) 1 Meter unter der Oberfläche befinden, kann die von @ACuriousMind erwähnte Situation nicht auftreten. Die "zwei Nullen"-Frage ist dann eine wohldefinierte mathematische Frage - Sie könnten sie auf math.SE stellen.

Antworten (1)

Ihre Frage bezieht sich auf das Hairy Ball Theorem , das besagt, dass jedes auf einer Kugel definierte kontinuierliche Tangentenvektorfeld eine Null haben muss. Betrachten wir den Tangententeil des Magnetfelds, B T : Nach dem vorigen Theorem gibt es einen Punkt auf der Erde, wo B T = 0 , oder mit anderen Worten, es gibt einen Punkt auf der Erde, an dem das Magnetfeld senkrecht zur Erdoberfläche steht.

Wir haben gerade einen einsamen Punkt erhalten, an dem das Erdmagnetfeld normal ist, aber warum sollte es einen zweiten Punkt geben, an dem diese Eigenschaft erfüllt ist? Hier kommt die Symmetrie der Erde ins Spiel: Das Erdmagnetfeld ist ungefähr symmetrisch um die Äquatorebene (leicht gedreht, um der Neigung der Magnetpole zu entsprechen), und hier ist das Magnetfeld fast tangential, sodass die erste Null dies nicht kann in diesem Flugzeug sein. Somit ist der Symmetriepunkt unseres ersten Punktes ein weiterer Punkt, an dem das Erdmagnetfeld senkrecht zur Erde steht.

Änderten wir das Modell der Erdoberfläche, bliebe das Ergebnis dasselbe: Tatsächlich lässt sich das Hairy-Ball-Theorem für topologisch kugelähnliche Formen demonstrieren.

Beachten Sie, dass ich im zweiten Absatz ein physikalisches Argument anstelle eines rein mathematischen verwendet habe: Tatsächlich ist das Ergebnis im allgemeinen Fall nicht wahr. Man kann ein kontinuierliches Vektorfeld finden, das nur an einem Punkt vertikal auf einer Kugel steht, siehe zum Beispiel diese Frage zu Math.SE. Somit könnte das Erdmagnetfeld im Allgemeinen nur in einem Punkt vertikal sein.

Die Aussage, dass es zwei Nullstellen des Magnetfelds gibt, folgt nicht aus dem Hairy-Ball-Theorem und ist tatsächlich im Allgemeinen falsch, wenn die einzige Einschränkung darin besteht, dass wir ein Feld auf einer Kugel betrachten. Setzen Sie einen infinitesimalen Dipol auf die Kugel – das resultierende Feld hat nur eine Nullstelle, nämlich am Ort des Dipols, vgl. diese Grafik auf Wikipedia . Wenn die Aussage in der Frage wahr ist, dann hat es mit besonderen Eigenschaften des Erdmagnetfelds zu tun und nicht nur mit dem Hairy-Ball-Theorem.
Du hast vollkommen Recht! Und, wie Sie sagten, habe ich eine besondere Eigenschaft des Erdmagnetfeldes genutzt, nämlich seine Symmetrie.
@Spirine Entschuldigung, ich möchte nur noch einmal überprüfen, ob die wahre Antwort der erste Absatz ist und ob die physikalische Diskussion im zweiten Absatz auf ein anderes, vereinfachtes Problem zurückgeht, bei dem es eine Symmetrie gibt, die in der Frage eigentlich nicht vorhanden ist? Die Unterscheidung zwischen den beiden ist die Motivation meiner Frage! Sie wissen, dass sogar ein Dipolfeld vom Erdmittelpunkt versetzt werden müsste, um die beste Anpassung an das Feld zu erhalten. Siehe diese Antwort und South Atlantic Anomaly .
Mathematisch denke ich, dass Sie dies mit dem Zwischenwertsatz beweisen können, wenn es einen Punkt gibt, an dem die Richtung "nach unten" zeigt, und einen, an dem sie "oben" ist, und sie kontinuierlich und differenzierbar ist, dann muss sie horizontal verlaufen.
@davidsheldon Der Zwischenwertsatz funktioniert für vektorwertige Funktionen nicht so.
@Spirine also deine Antwort auf meine Frage " Gibt es unbedingt immer mindestens zwei Punkte an denen das Erdmagnetfeld senkrecht steht? " ist ja oder nein? Unter welchen Bedingungen wäre rechnerisch nur EIN Punkt möglich? Stellen Sie sich während einer Umpolung vor, wo der Dipolterm sehr klein wird und dann durch Null geht. An diesem Punkt müssen es vielleicht nicht unbedingt ZWEI sein?
Ich habe Ihre Frage nur in einem vereinfachten symmetrischen Fall beantwortet, aber ehrlich gesagt weiß ich nicht, ob das Ergebnis in jedem Fall zutrifft: Sie sollten Ihre Frage auf Math.SE stellen, da es keine Physikfrage mehr ist!
@uhoh Anscheinend wurde die Frage bereits auf Math.SE gestellt: Das Erdmagnetfeld könnte nur an einem Punkt vertikal sein.
+n!Exzellent! Vielen Dank, dass Sie sich bei dieser Antwort die Mühe gemacht haben und auch auf die Antwort von Math SE verlinkt haben. Ich schätze deine Hilfe sehr.
Genau genommen könnte an der Stelle, an der der Tangentenvektor Null ist, auch die Normalkomponente Null sein.
Ein Normalenvektor ist definiert als ein Vektor mit einer Null-Tangens-Komponente. Somit ist insbesondere der Nullvektor ein Normalenvektor zu jeder Fläche!
Gibt es notwendigerweise immer mindestens zwei Punkte, an denen das Erdmagnetfeld senkrecht steht?
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