Gilt das "Tennisschläger-Theorem" für die ISS? Dreht es sich um seine (instabile) Zwischenachse?

Hat es drei ungleiche Hauptträgheitsmomente ...

Hat die ISS drei unterschiedliche Hauptträgheitsmomente ? Die Antwort ist definitiv „ja“.

Jedes Objekt hat eine Massenmatrix ,$M$. In drei Dimensionen ist dies a$3x3$symmetrische Matrix. Weil$M$symmetrisch ist, kann eine solche Matrix diagonalisiert werden , so dass$P^{-1} \cdot M \cdot P = \bar{M}$ist eine Diagonalmatrix. Die drei Elemente auf der Diagonalen von$\bar{M}$sind die Hauptträgheitsmomente$I_1,I_2,I_3$Und$P$ist eine Koordinatentransformation zwischen dem ursprünglichen Koordinatensystem (dh in dem$M$ausgedrückt) und das Koordinatensystem mit den Hauptachsen ausgerichtet ist.

Es kann mehr als eine Lösung für geben$\bar{M}$: Zum Beispiel hat eine Kugel mit gleichmäßiger Dichte unendliche Lösungen und für einen Würfel mit gleichmäßiger Dichte kann das Hauptkoordinatensystem mit jeder der 6 Flächen ausgerichtet werden. Für solche Objekte$I_1 = I_2 = I_3$. Es gibt auch Objekte mit$I_1 = I_2 \neq I_3$, wie Balken mit quadratischem Querschnitt.

In Wirklichkeit haben jedoch alle Objekte unterschiedliche Hauptträgheitsmomente und verhalten sich daher wie der Tennisschläger im Beispiel. Das Auffinden der Hauptachsen ist jedoch nicht immer offensichtlich und erfordert die Kenntnis der Geometrie und Massenverteilung (ohne Berücksichtigung der Flexibilität!).

Also ja, die ISS hat drei verschiedene Hauptträgheitsmomente.

...und dreht es sich um seine (instabile) Zwischenachse?

Nein, tut es nicht.

Wir können versuchen, die Hauptachsen zu identifizieren. Auf diesem Foto ist die ISS ziemlich symmetrisch:

• Es ist zu erwarten, dass eine Hauptachse mehr oder weniger mit der großen Fachwerkstruktur ausgerichtet ist, die im Bild von links nach rechts verläuft. (Rot)
• Eine zweite Achse wird mit den Modulen ausgerichtet und verläuft im Bild von oben nach unten. Es gibt jedoch eine gewisse Asymmetrie in den Modulen oben, sodass die Achse wahrscheinlich leicht nach links zeigt. (Grün)
• Die dritte Achse ragt aus dem Bild heraus und vervollständigt einen orthogonalen Koordinatenrahmen. (Blau)

Ich habe versucht, sie auf dem Bild zu zeichnen.

Die Reihenfolge der Trägheitsmomente hängt von der Massenverteilung ab (ohne Berücksichtigung von Sachen und Personen, die sich darin bewegen). Das Trägheitsmoment für einen Massenpunkt as$I = m r^2$, was zeigt, dass es linear mit der Masse und quadratisch mit dem Abstand zur Hauptachse skaliert. Allerdings würde ich vermuten, dass das Trägheitsmoment um die blaue Achse am größten und um die rote Achse am kleinsten ist, sodass die grüne Achse die instabile bleibt.

Die Bahnrichtung ist auf diesem Foto „oben“, also dreht sich die ISS um die rote Achse, was stabil ist (basierend auf der Einschätzung). Beachten Sie jedoch, dass die Achse nur aus rein mechanischer Sicht instabil ist; andere Effekte (Widerstand, Sonnendruck usw.) wirken sich ebenfalls aus.

Diese Antwort enthält einige Verweise auf verschiedene Versionen des „On-Orbit Assembly, Modeling, and Mass Properties Data Book“. In Band I der Version von 2008 ( pdf ) finden wir die folgende Konfiguration (die dem obigen Foto sehr ähnlich zu sein scheint) für Januar 2008:

Beachten Sie die Achsendefinition unten rechts. Der Trägheitstensor ist auf der nächsten Seite angegeben, ebenso wie die Hauptträgheitsmomente:

Die Zuordnung zwischen meinem Bild und der Tabelle ist:

• IXX = grün = 122.821.706 kg m${}^2$
• IYY = rot = 74.778.361 kg m${}^2$
• IZZ = blau = 183.070.193 kg m${}^2$

Die IXX-Achse ist also die instabile. Aber wieder nur aus mechanischer Sicht instabil. Die ISS rotiert um IYY.

Die Winkel in der letzten Zeile zeigen, dass die Hauptachsen ziemlich nahe am Referenzkoordinatensystem liegen.