Gilt p=mcp=mcp=mc für Photonen?

Wie Sie vielleicht wissen, haben Photonen keine Masse.

Wenn wir relativistischen Impuls und relativistische Energie in Beziehung setzen, erhalten wir:

$E^2 = p^2c^2+(mc^2)^2$.

Wo$E$ist Energie,$p$ist Schwung,$m$ist Masse u$c$ist die Lichtgeschwindigkeit.

Da die Masse Null ist,$E=pc$.

Nun, das wissen wir$E=hf$. Dann bekommen wir den Impuls für Photon.

Beachten Sie, dass es einen Begriff namens effektive Trägheitsmasse gibt. Photon hat es.

Wenn wir mit anfangen$E^2=(cp)^2+(c^2m)^2$als relativistisch korrekte Gleichung in Energieeinheiten (Quadrat) können wir dann versuchen zu extrahieren$v$davon, anstatt zu versuchen, zu setzen$v$in andere Gleichungen und hoffen, dass alles klappt.

Teilen wir also alles durch$E^2$, wir bekommen$1=(cp/E)^2+(c^2m/E)^2$was auch richtig ist. Und da wir uns normalerweise keine Sorgen machen$E=0$, die Division durch$E$normalerweise ist nicht viel zu befürchten. Aber jetzt ist alles dimensionslos, wenn wir ein schönes Ergebnis über Geschwindigkeiten bekommen wollen, können wir multiplizieren$c^2$zu bekommen:

$c^2=(c^2p/E)^2+(c^3m/E)^2$, oder

$(c^2p/E)^2=c^2-(c^3m/E)^2$.

Jetzt hat das Ding auf der linken Seite Geschwindigkeitseinheiten (im Quadrat) und es ist etwas kleiner als$c^2$in der Größenordnung. Das ist kein Zufall, denn es ist tatsächlich die Geschwindigkeit[1].$v=c^2p/E$(Im 2D- oder 3D-Raum Vektorpfeile darüber legen$v$Und$p$überall, also$\vec{v}=c^2\vec{p}/E$) ist eine völlig korrekte Gleichung für die Geschwindigkeit in Bezug auf$p$Und$E$, benutz einfach:

$\vec{v}=c^2\vec{p}/E$.

Wenn Sie stattdessen verwenden möchten$E$Und$m$(anstatt$E$Und$\vec{p}$), dann haben wir:

$v^2=c^2-(c^3m/E)^2$. (Beachten Sie, Sie erhalten nur$v$nicht$\vec{v}$Weil$E$Und$m$sind Skalare, man kann keine Richtung bestimmen).

Nun, vielleicht sind Sie es von der Newtonschen Physik gewohnt, sich auszudrücken$v$bezüglich$\vec{p}$Und$m$, das geht auch. Erinnern Sie sich an unseren Ausgangspunkt$E^2=(c\vec{p})^2+(c^2m)^2$, So$E=\sqrt{(c\vec{p})^2+(c^2m)^2}$. Dann nehmen Sie unsere richtige Gleichung für$\vec{v}$bezüglich$\vec{p}$Und$E$

$\vec{v}=c^2\vec{p}/E$

und geben Sie diesen Ausdruck für ein$E$zu bekommen:

$\vec{v}=\frac{c^2\vec{p}}{\sqrt{(c\vec{p})^2+(c^2m)^2}}$.

Also zusammenfassend drücken wir aus$v$in Bezug auf (jede zwei von)$E$,$m$, Und$\vec{p}$.

Für$E$Und$m$wir bekommen$v^2=c^2-(c^3m/E)^2$.

Für$E$Und$\vec{p}$wir bekommen$\vec{v}=c^2\vec{p}/E$.

Für$m$Und$\vec{p}$wir bekommen$\vec{v}=\frac{c^2\vec{p}}{\sqrt{(c\vec{p})^2+(c^2m)^2}}$.

Keine Grenzen, nichts Falsches, keine Unendlichkeiten, keine Division durch Null und keine Ausnahmen.

Manche Leute arbeiten lieber mit$\vec{\beta}=\vec{v}/c$, anstatt$\vec{v}$und in der Tat sehen die Gleichungen so schöner aus.

Für$E$Und$m$wir bekommen$\beta^2=1-(c^2m/E)^2$.

Für$E$Und$\vec{p}$wir bekommen$\vec{\beta}=c\vec{p}/E$.

Für$m$Und$\vec{p}$wir bekommen$\vec{\beta}=\frac{c\vec{p}}{\sqrt{(c\vec{p})^2+(c^2m)^2}}$.

[1] Wenn dies alles unglaublich schien, beachten Sie, dass die Weltlinie eines Teilchens eine Einheit (in der Minkowski-Geometrie) Tangente hat. Für ein masseloses Teilchen bewegen sie sich bei c, und alle Gleichungen funktionieren. Wenn Sie bei massiven Teilchen diese Einheittangente durch die Ruhemasse skalieren, ist dieser Raumzeitvektor der tatsächliche Energie-Impuls-Raumzeitvektor$(E,c\vec{p})$, also geht die Tangente tatsächlich$E$Einheiten rechtzeitig für jeden$pc$Einheiten im Raum teilen wir durch$E$um zu sehen, was in der Zeiteinheit passiert, also in der Zeiteinheit geht es$pc/E$Einheiten im Raum. Der Faktor von$c$ist buchstäblich nur, um dieses Verhältnis in Geschwindigkeitseinheiten zu erhalten.

bearbeiten Die mittlere Gleichung$\vec{v}=c^2\vec{p}/E$ist das einfachste, und zwar, wenn Sie nach lösen$\vec{p}$, du erhältst$\vec{p}=(\frac{E}{c^2})\vec{v}$. Und ja, alte Gleichungen können manchmal funktionieren, indem sie ersetzt werden$m$mit$\frac{E}{c^2}$, aber seit$\frac{E}{c^2}$ist nicht konstant ($E$wechselt wann$p$Änderungen) sind nicht alle alten Gleichungen äquivalent. Zum Beispiel in der Newtonschen Physik könnten Sie Recht haben$F=mdv/dt$oder$F=d(mv)/dt$, jedoch, wenn Sie ersetzt$m$mit$\frac{E}{c^2}$In diesen beiden Gleichungen würden Sie zwei verschiedene Gleichungen erhalten. Es gibt also kein einfaches Kochbuch, um von einer beliebigen newtonschen Gleichung zu einer korrekten relativistischen Gleichung zu gelangen. Sie müssen nur die richtigen relativistischen Gleichungen lernen.

Hier ist eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken (persönlich denke ich, dass dies die Frage am direktesten anspricht):

$E = hf$Und$p = \frac{hf}{c}$beide gelten für Photonen. Was diese Ihnen bringen, ist einfach das$E = pc$, also kann man darauf schließen$E = pc$sollte für Photonen gelten. Und es ist.

Jetzt ist Ihre Frage so formuliert, ob Sie damit beginnen können$p = mc$und einstecken$E = pc$zu bekommen$E = mc^2$. Aber ich denke, was Sie wirklich wissen wollen, ist, können Sie damit anfangen$E = mc^2$und benutze es mit$E = pc$ableiten$p = mc$?

Die Antwort ist natürlich nein.$E = mc^2$gilt nicht für Photonen. Tatsächlich gibt es keinen Fall, in dem$E = mc^2$Und$E = pc$beide gelten für dasselbe Objekt. Sie können sie also niemals gültig kombinieren. Ersteres ist für Objekte in Ruhe, für die$p = 0$, und letzteres ist für masselose Objekte, für die$m = 0$, und die sich immer mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Wie andere gezeigt haben, sind sie beide Sonderfälle von$E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4$.

Mir fällt übrigens kein einziges physikalisches System dafür ein$p = mc$ ist zufrieden.

Gemäß der Speziellen Relativitätstheorie ist die relativistische Energie für ein Teilchen:$E^2= m^2c^4+p^2c^2$

Die invariante Größe unter relativistischen Transformationen ist die Ruhemasse$m$des Teilchens.

Für ein Photon$m=0$

Mit etwas einfacher Algebra wird es gefunden$E=pc$für ein Photon.

Sie werden sehen, dass dadurch die Frequenz- und Energiebeziehung erhalten bleibt.

Der Fehler in der Frage ist dieses Momentum$p$hängt immer von Masse und Geschwindigkeit ab ($p=mv$Wo$c$wird in als platziert$v$für das Photon), während dies für ein masseloses Teilchen nicht gilt.

Betrachten wir dies als weitere Ausarbeitung aus dem Blickwinkel des relativistischen Impulses.

Denken Sie daran, dass der Impuls in der relativistischen Mechanik keine lineare Funktion der Geschwindigkeit ist, wie es in der Newtonschen Mechanik der Fall ist$p = mv$. In der relativistischen Mechanik:

$p = \gamma m v$

$m$ist die invariante Masse

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$

Offensichtlich für eine Nicht-Null$m$,$p \rightarrow \infty$als$v \rightarrow c$

Bitte denken Sie jetzt daran$p$in der relativistischen Energiebeziehung ist nicht gerecht$mv$sondern ist das relativistische Momentum$\gamma m v$:

$E^2 = (\gamma m v c)^2 + (mc^2)^2$

Daraus ist klar, dass die relativistische Energie ist:

$E = \gamma m c^2$

Also, wenn wir reparieren$E$und lass$m \rightarrow 0$, wir glauben, dass$v \rightarrow c$in der Grenze.