Gravitation auf einem Donut-förmigen/Möbius-Planeten

Gravitationsfeld aus einem Massenring

...die Kraft auf eine Einheitsmasse bei$P$aus den beiden Massen$M$ist

$$F=-\frac{2GMx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$$

Nun, solange wir nur auf die schauen$x$-Achse, diese identische Formel funktioniert für einen Massenring$2M$in dem$y$,$z$Flugzeug! Es ist nur eine dreidimensionale Version des obigen Arguments und kann visualisiert werden, indem das obige Zwei-Massen-Diagramm um die gedreht wird$x$-Achse, um einen Ring senkrecht zum Papier zu erhalten, oder indem man sich den Ring als aus vielen Perlen zusammengesetzt vorstellt und die Perlen paarweise einander gegenüber nimmt. Unterm Strich : das Feld aus einem Ring der Gesamtmasse$M$, Radius$a$, an einem Punkt$P$auf der Achse des Ringabstandes$x$von der Mitte des Rings ist

$$F=-\frac{GMx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$$

Schwerkraft eines Torus

Man denkt manchmal, vielleicht aus Symmetriegründen, dass ein Objekt im Inneren eines Materierings zum Zentrum gezogen würde, aber das ist nicht der Fall – zumindest nicht für Objekte in der Ebene des Rings. Um zu sehen, warum, betrachten Sie einen sehr dünnen Massenring, der als Radiuskreis behandelt wird$R$in der Ebene und ein Teilchen innerhalb dieses Rings in einiger Entfernung$r$aus der Mitte. Konstruieren Sie eine beliebige Linie, die durch dieses Teilchen verläuft und den Ring in zwei entgegengesetzten Richtungen in Abständen trifft$L_1$und$L_2$. Wenn wir diese Linie um einen inkrementellen Winkel um das Teilchen drehen$\mathrm{d}q$, es wird Abschnitte des Rings ausstreichen, die proportional zu sind$L_1\cos(a)\mathrm{d}q$und$L_2\cos(a)\mathrm{d}q$, wo$a$ist der Winkel, den die Sehne mit den Normalen zum Kreis an den Schnittpunkten bildet. Die von diesen beiden gegenüberliegenden Abschnitten des Rings ausgeübte Nettogravitationskraft ist proportional zu den Massen in diesen kleinen Abschnitten dividiert durch die Quadrate der Abstände, dh die Kraft ist proportional zu$\mathrm{d}q \cos(a) (\frac{1}{L_1} - \frac{1}{L_2}$) in Richtung der$L_1$Schnittpunkt. Daher wirkt die Nettokraft in Richtung des nächstgelegenen Punktes auf dem Ring, direkt von der Mitte weg.

Gravitationsfeld durch starre Körper

Lustige Zusatzlektüre: Ringworld :)

Ich mache das aus meinem Kopf heraus, also hoffe ich, dass es richtig ist, aber bitte überprüfen Sie es noch einmal.

1. Wenn Sie weit genug vom Objekt entfernt sind, reduzieren sich die Gesetze auf die klassische Punktmassenlösung, F = GMmr^-2.

2. Wenn Sie sich auf der Ebene des Toruslochs befinden, heben sich darüber hinaus Beiträge aus den Richtungen "oben" und "unten" auf. Der Torus kann als Scheibe mit einem Loch betrachtet werden. In diesem Szenario hängt die Schwerkraft nur von der Masse in der Scheibe ab, die durch den Radius vom Beobachter zum Zentrum des Torus definiert ist. Es wird (glaube ich) linear von dem Wert an der Außengrenze abnehmen (der ähnlich dem unter Punkt 1 definierten sein sollte und dem Wert Null an der Innengrenze).

3. Innerhalb des Torus auf der Ebene des Lochs sollte die Schwerkraft Null sein.

4. In anderen Punkten muss man tatsächlich integrieren.

Auf dem Torus:
Wenn man zur Innenseite des Torus geht, wird man leichter, weil man die Schwerkraft unter den Füßen hat (die stärker ist, weil sie näher ist) und die Schwerkraft über dem Kopf, die einen leichter macht. Die Außenseite des Torus ist die Seite, auf der Menschen schwerer sind.

Auf dem Möbiusband:
Die Anziehungskraft variiert wie beim Torus, man wird bei einer Weltreise leichter und dann wieder schwerer. Geht man von einer Seite zur "anderen" Seite [Klammer, weil es die gleiche Seite ist] über die Dicke des Streifens - vorausgesetzt, die ist zugänglich, sonst muss man auf die "andere" Seite fliegen - ist die Situation umgekehrt.

Wie Sklivvz feststellt:
In der Mitte des Torus oder Möbiusbandes ist jegliche Schwerkraft aufgehoben.
In großer Entfernung kann die Form des Objekts vernachlässigt werden, es kann als Punktmasse behandelt werden.