Was sind die Gravitationsbindungsenergien von Riesenplaneten?

Die potenzielle Gravitationsenergie einer polytropen Gaskugel (d. h. geregelt durch eine polytropische Zustandsgleichung) mit einem polytropischen Index$n$wird von gegeben

$$\Omega = -\frac{3}{5-n}\ \frac{GM^2}{R}$$ Siehe zum Beispiel hier .

Eine Kugel mit konstanter Dichte müsste inkompressibel sein. Da ein Polytrop einen Druck hat$p \propto \rho^{1 +1/n}$, das entspricht$n=0$und gibt Ihnen Ihr Ergebnis für eine einheitliche Kugel.

Höhere Werte von$n$haben mehr zentral kondensierte Profile und größere Bindungsenergien.

Der geeignete Wert des Polytropenindex für Braune Zwerge und Gasriesen, wo der Energietransport konvektiv ist oder wo das Gas (nicht-relativistisch) entartet ist$n=3/2$. In diesem Fall erhöht sich Ihr führender Koeffizient von 3/5 auf 6/7. dh keine große Sache für eine ungefähre Berechnung.

Dies ist eine Antwort auf den Punkt, den ich in den Kommentaren angesprochen habe.

Zunächst möchte ich darauf hinweisen, dass die angegebene Formel für die Gravitationsbindungsenergie eines kugelsymmetrischen Körpers nicht ganz stimmt. Sie können im Wiki-Artikel sehen , dass der Faktor von$3$im Nenner ergibt sich aus der Annahme einer gleichmäßigen Massenverteilung. Nur um es festzuhalten, hier ist eine richtige Ableitung.

Um eine Masseschicht von der Oberfläche einer Kugel - ihrer Hülle - ins Unendliche zu schicken, dauert es$dU$Energie:

$$dU(r)=\frac{GM_{\text{inside}}(r)\,m_{\text{shell}}(r)}{r}=\frac{GM_{\text{inside}}(r)}{r}(4\pi r^2 \rho(r)\,dr)$$

Die Masse in dieser Schale ist

$$M_{\text{inside}}(r)=\int_0^r\rho(r') \,(4\pi r'^2\, dr')$$

Um die gesamte Bindungsenergie zu erhalten, schicken wir alle Schalen ins Unendliche, dh wir integrieren vom Kern ($r=0$) zum Außenradius ($r=R$):

$$U_{\text{binding}}=\int dU = 16\pi^2 G \int_0^R dr_1 \rho(r_1) r_1 \int_0^{r_1} dr_2\, \rho(r_2) r_2^2$$

Vielleicht könntest du mit einem Trick dieses Doppelintegral auf ein einziges Integral reduzieren, aber mir fällt auf Anhieb nicht ein, wie ich das machen soll.

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Wenn wir davon ausgehen, dass die Verteilung so verläuft, sagen wir$\rho(r)=\rho_0 e^{-\alpha r}$, Wo$\rho_0$wird durch die Bedingung festgelegt, dass die Gesamtmasse ist$M$, können Sie die langwierigen Berechnungen durchführen und die Bindungsenergie als Funktion des Parameters ermitteln$\alpha$. Einstellung$R=M=G=1$, meine Berechnungen ergaben:

$$U_{\text{binding}}(\alpha)=\frac{\alpha}{4}\frac{\frac{5}{8}-2e^{-\alpha}(\alpha+1)+\frac{1}{8}(2\alpha(\alpha(2\alpha+7)+11)+11)e^{-2\alpha}}{\left(1-(1+\alpha+\frac{1}{2}\alpha^2)e^{-\alpha}\right)^2}$$

Hier ist eine Handlung davon (mit freundlicher Genehmigung von wolframalpha):

Beachten Sie zunächst als Plausibilitätsprüfung, dass bei$\alpha=0$wir stellen die Antwort mit einheitlicher Dichte wieder her,

$$U_{\text{binding}}(\alpha=0)=\frac{3 M^2 G}{5R}$$

Was uns dieses Diagramm sagt, ist, dass wenn wir eine Massenverteilung haben, die zerfällt wie$e^{-4r}$, ändert sich die Bindungsenergie um$\approx (0.8-0.6)/0.6\times 100\%=33\%$. Ich habe speziell gerade ausgewählt$\alpha=4$denn das ergibt ungefähr die Massendichte von Jupiter in dem von Ihnen angegebenen Link (ohne Berücksichtigung des gasförmigen Wasserstoffanteils, dessen Einbeziehung den Unterschied nur noch vertiefen würde).

Für einen felsigen Planeten wie die Erde ist jedoch die Dichte in der Nähe der Oberfläche ungefähr ein Faktor$3/13\approx e^{-1.5}$kleiner als die Dichte im Kern, dann$U_{\text{binding}}(\alpha=1.5)=0.649$, das ist nur$8\%$anders als die Annäherung an die einheitliche Dichte.

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Fazit: Die genaue Massenverteilung für einen Gasriesen spielt eine Rolle, denn die berechnete Bindungsenergie eines Planeten weicht von der semi-realistischen Verteilung (exponentieller Zerfall) von der übernaiven Verteilung (uniform) um etwas mehr als ab$33\%$. Für einen felsigen Planeten, dessen Verteilung viel langsamer abnimmt, ändert die halbrealistische Verteilung jedoch nur die naive Antwort$8\%$.

Die Annäherung an die Erde durch eine Kugel mit einheitlicher Massendichte ist also nicht so schlimm, es sei denn, Sie möchten die Antwort besser als$8\%$.

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Nächster Schritt: Ein möglicher nächster Schritt wäre eine stückweise Verteilung, wobei für jede "Schicht" eine andere Verteilung verwendet wird. Ich glaube nicht, dass dies die Antwort zu sehr ändern würde, aber es ist eine mögliche Richtung.