Hot Rods in den Weltraum!

Question

Hot Rods in den Weltraum!

Grün

Basierend auf dieser Frage zu einem unmöglichen Langhantelplaneten , wie heiß wäre der Balken, wenn er sich von der Hälfte des Erdmantels bis zu einer Höhe von 2r des Erdradius erstrecken würde? Der Durchmesser des Stabes selbst beträgt 20 % des Erdradius. Die Stange besteht aus Weichstahl (wir schwenken die strukturelle Integrität von geschmolzenem Stahl von Hand und ignorieren, dass eine so hohe Struktur sofort zusammenbrechen würde.) Außerdem ist die Stange auf halbem Weg durch den Mantel dauerhaft befestigt. Die Ausrichtung und der Abstand zwischen dem Erdkern und dem Balken sind Fixpunkte.

Wir werden die Orbitalmechanik, die Strukturfestigkeit von Megastrukturen und die Strukturfestigkeit der Erdkruste, die diese Megastruktur umgibt, ignorieren.

Wie hoch müsste eine Person angesichts der Kerntemperatur der Erde und der Leitfähigkeit von Weichstahl auf die Stange steigen, um die Stange mit bloßen Händen zu berühren und sich nicht zu verbrennen?

Bonusfrage(n): Was würde mit dem Wetter in der Nähe der Basis des Stabes passieren, wo er sich mit der Erde schneidet? Wenn Sie darüber sprechen wollen, wie schnell der Erdkern vollständig abkühlen würde, ist das auch cool.

Zusätzliche Bonusfrage(n): Berücksichtigen Sie die Orbitalmechanik, die Wechselwirkung mit der Magnetosphäre und die Kompressionserwärmung des Stabs gegen den Erdkern und die Reibung mit der Kruste.

Denken Sie daran, dies ist eine wissenschaftliche Frage. Gleichungen, offizielle Regierungsquellen und Zeitschriftenreferenzen werden am meisten geschätzt. Bitte ein Minimum an Handwavium.

Benutzer6760

Diese Frage wäre eher für Physics.SE.😃 geeignet

HDE226868

@ user6760 Ich denke, es ist hier in Ordnung.

Samuel

Ich nehme an, Sie ignorieren den Schmelzpunkt von Stahl und die Tatsache, dass sich der Kern nicht drehen kann, wenn ein Stab durch die Kruste herausragt?

Grün

@Samuel, der Schmelzpunkt von Stahl wird entlang der Länge der Stange ignoriert und lassen Sie uns die Stange auf halbem Weg durch den Mantel aufhängen. Die thermische Dynamik für eine Frage wie diese ist kompliziert genug, sodass die Frage nicht weiter durch Wechselwirkungen mit der Magnetosphäre der Erde verkompliziert werden muss. Unter der Oberfläche erwarte ich, dass der Stab die gleiche Temperatur wie der umgebende Mantel hat, also denke ich nicht, dass er am Kern haften muss.

Samuel

@Green Ja, ich habe bereits begonnen, die Wärmeübertragung und Temperatur in Bezug auf die Entfernung vom Kern zu berechnen. Es ist komplex, der Stab ist zu dick, um für einen bestimmten Querschnitt als isotherm angesehen zu werden, und die Verschiebung von Gestein zu Boden + Wasser zu Luft zu Vakuum (und zurück!) ist eine Menge zu bewältigen. Hard-Science ist die perfekte Beschreibung dafür und ich habe meine Antwort aufgegeben (keine Zeit diese Woche, nicht so viel!).

Grün

@Samuel, ich dachte mir, dass entweder Sie oder HDE diese Frage beantworten könnten. Nimm dir Zeit! :) Diese Frage ist viel mehr ein lustiges Rätsel als alles, was ich dringend brauche. Und wenn man bedenkt, dass die Lösung dieses Problems unter realen Umständen eine umfangreiche Erstellung von CFD-Modellen und Rechenzeit erfordern würde, reichen die gröbsten Antworten aus.

Loren Pechtel

Der Stab würde den Planeten nicht daran hindern, sich zu drehen, wenn er sich in einem der Pole befände.

Grün

@LorenPechtel Ich nehme an, das könntest du, aber ich erinnere mich, ein Kinderspielzeug gesehen zu haben, bei dem ein kurzer Holzdübel in eine Holzkugel eingesetzt ist. Der Stab wird dann geschleudert und auf eine harte Oberfläche fallen gelassen. In kurzer Zeit werden der Stab und die Kugel umgedreht und anstatt sich mit der Kugelseite nach unten zu drehen, dreht sich die Stabseite nach unten. Ich verstehe/kenne die Physik dahinter nicht, warum dies passiert, aber ich möchte so viel Komplexität wie möglich vermeiden.

Serban Tanasa

Wenn die Planeten nicht auch aus Unobtanium bestehen, würden Sie am Ende einen großen Planeten mit einem Spieß in der Mitte haben, da sie einfach über die Stange gleiten würden.

Grün

@SerbanTanasa, danke für den Hinweis. Ich habe die Erde und den Balken in einem konstanten Bezugssystem fixiert.

AndyD273

„Wir werden all diese Dinge mit der Hand winken. Oh ja, und harte Wissenschaft, ein Minimum an Handwavium, bitte.“

Antworten (1)

Hot Rods in den Weltraum!

Ich nehme an, Sie ignorieren den Schmelzpunkt von Stahl und die Tatsache, dass sich der Kern nicht drehen kann, wenn ein Stab durch die Kruste herausragt?
@Samuel, der Schmelzpunkt von Stahl wird entlang der Länge der Stange ignoriert und lassen Sie uns die Stange auf halbem Weg durch den Mantel aufhängen. Die thermische Dynamik für eine Frage wie diese ist kompliziert genug, sodass die Frage nicht weiter durch Wechselwirkungen mit der Magnetosphäre der Erde verkompliziert werden muss. Unter der Oberfläche erwarte ich, dass der Stab die gleiche Temperatur wie der umgebende Mantel hat, also denke ich nicht, dass er am Kern haften muss.
@Green Ja, ich habe bereits begonnen, die Wärmeübertragung und Temperatur in Bezug auf die Entfernung vom Kern zu berechnen. Es ist komplex, der Stab ist zu dick, um für einen bestimmten Querschnitt als isotherm angesehen zu werden, und die Verschiebung von Gestein zu Boden + Wasser zu Luft zu Vakuum (und zurück!) ist eine Menge zu bewältigen. Hard-Science ist die perfekte Beschreibung dafür und ich habe meine Antwort aufgegeben (keine Zeit diese Woche, nicht so viel!).
@Samuel, ich dachte mir, dass entweder Sie oder HDE diese Frage beantworten könnten. Nimm dir Zeit! :) Diese Frage ist viel mehr ein lustiges Rätsel als alles, was ich dringend brauche. Und wenn man bedenkt, dass die Lösung dieses Problems unter realen Umständen eine umfangreiche Erstellung von CFD-Modellen und Rechenzeit erfordern würde, reichen die gröbsten Antworten aus.
Der Stab würde den Planeten nicht daran hindern, sich zu drehen, wenn er sich in einem der Pole befände.
@LorenPechtel Ich nehme an, das könntest du, aber ich erinnere mich, ein Kinderspielzeug gesehen zu haben, bei dem ein kurzer Holzdübel in eine Holzkugel eingesetzt ist. Der Stab wird dann geschleudert und auf eine harte Oberfläche fallen gelassen. In kurzer Zeit werden der Stab und die Kugel umgedreht und anstatt sich mit der Kugelseite nach unten zu drehen, dreht sich die Stabseite nach unten. Ich verstehe/kenne die Physik dahinter nicht, warum dies passiert, aber ich möchte so viel Komplexität wie möglich vermeiden.
Wenn die Planeten nicht auch aus Unobtanium bestehen, würden Sie am Ende einen großen Planeten mit einem Spieß in der Mitte haben, da sie einfach über die Stange gleiten würden.
@SerbanTanasa, danke für den Hinweis. Ich habe die Erde und den Balken in einem konstanten Bezugssystem fixiert.
„Wir werden all diese Dinge mit der Hand winken. Oh ja, und harte Wissenschaft, ein Minimum an Handwavium, bitte.“

HDE226868 · Answer 1

In erster Näherung behandeln wir den Stab als eindimensionalen Längenstab $L$ . An jedem Ende befindet sich eine Wärmequelle (die Mäntel jeder der beiden „Erden“. Wir können beginnen, das System zu modellieren, indem wir der eindimensionalen Wärmegleichung folgen :

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial T}{\partial t} = k \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} \end{matrix}

$\frac{\partial T}{\partial t}=k\frac{\partial^2T}{\partial x^2}\tag{1}$ wo

T

$T$ steht für Temperatur,

x

$x$ ist der Abstand von einem Ende der Stange,

t

$t$ ist Zeit u

k

$k$ eine Konstante ist, die Temperaturleitfähigkeit . Betrachten Sie einen Fall mit den folgenden Randbedingungen:

T (0, t) = T_{1}, T (L, t) = T_{2}, T (x, 0) = f (x)

$T(0,t)=T_1,\quad T(L,t)=T_2,\quad T(x,0)=f(x)$ Die erste Bedingung ist, dass beide Wärmequellen identisch sind. Wir können die Methode der Variablentrennung verwenden, um zu unserer Lösung zu gelangen :

T (x, t) = T_{1} + \frac{T_{2} - T_{1}}{L} x + \sum_{n = 1}^{\infty} B_{n} Sünde (\frac{n π x}{L}) e^{- k {(\frac{n π}{L})}^{2} t}

$T(x,t)=T_1+\frac{T_2-T_1}{L}x+\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t}$ wo

B_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} (f (x) - u_{E} (x)) Sünde (\frac{n π x}{L}) d x, u_{E} (x) = T_{1} + \frac{T_{2} - T_{1}}{L} x

$B_n=\frac{2}{L}\int_0^L(f(x)-u_E(x))\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx,\quad u_E(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{L}x$ In unserem Fall,

T_{1} = T_{2}

$T_1=T_2$ und

f (x) = T_{0}

$f(x)=T_0$ ist einheitlich. Dann wenn

Δ T = T_{0} - T_{1}

$\Delta T=T_0-T_1$ ,

B_{n} = \frac{2 Δ T (1 - \cos (π n))}{π n}

$B_n=\frac{2\Delta T(1-\cos(\pi n))}{\pi n}$ und

T (x, t) = T_{1} + 2 Δ T \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1 - \cos (π n)}{π n}) Sünde (\frac{n π x}{L}) e^{- k {(\frac{n π}{L})}^{2} t}

$T(x,t)=T_1+2\Delta T\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-\cos(\pi n)}{\pi n}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t}$ Wikipedia zitiert Stahl mit ungefähr

k = 2 \times 10^{- 5} m^{2} s^{- 1}

$k=2\times10^{-5}\text{ m}^2\text{ s}^{-1}$ . Sagen wir

L = 4 R_{\oplus}

$L=4R_{\oplus}$ ,

T_{1} = T_{2} = 6000 K

$T_1=T_2=6000\text{ K}$ ( nach Schätzungen ) und

T_{0} = 300 K

$T_0=300\text{ K}$ .

Es stellt sich heraus, dass sich die Brücke zwischen den Kernen sehr langsam erwärmt. Ich habe die ersten 100 Terme von berechnet $T(x,t)$ zu verschiedenen Zeiten und zeichnete sie auf.

Die starken Schwingungen an den Enden sind nur Beispiele für das Gibbs-Phänomen und haben keine physikalische Bedeutung.

Soweit ich das beurteilen kann, wird es nach Zeitskalen von mehr als 100 Millionen bis 1 Milliarde Jahren gefährlich, auf der Stange zu gehen. Das Zentrum soll bewohnbar bleiben.

Es gibt ein paar Dinge, die wir nicht berücksichtigt haben:

Strahlungskühlung, die meiner Meinung nach wichtig sein wird. Dies könnte auch bedeuten, dass die Enden der Stäbe – zumindest die Abschnitte, die unmittelbar aus der Oberfläche der Planeten herausragen – ziemlich hell erscheinen könnten. Immerhin sind 6000 K ungefähr die Temperatur der Sonnenoberfläche!
Die Tatsache, dass die Stange ein Zylinder ist, nicht eindimensional. Ich denke jedoch nicht, dass dies ein wesentlicher Faktor ist, wenn es um die relevanten Zeitskalen geht, insbesondere wenn die Rute dünn ist.
Die Enden des Stabs sind in Planeten eingebettet, und Wärme diffundiert in die äußeren Schichten der Planeten. Es sollte auch einen Gradienten ungleich Null an den Kernen geben, at $t=0$ .
Atmosphären haben einen Einfluss auf die Temperaturzirkulation; Die (kühleren) Bereiche der Atmosphäre um die beiden Planeten sollten Wärme von den (heißeren) Bereichen um den Stab aufnehmen.

Abgesehen davon denke ich, dass dieses einfache 1-D-Modell uns eine Schätzung der Größenordnung geben kann.

Ich bin kein Physiker oder Maschinenbauingenieur, aber ich denke, Ihr Ansatz ist vernünftig.
Einerseits ignorieren Sie die Strahlungskühlung, sobald der Stab die Kruste verlässt. Andererseits wenden Sie den geothermischen Gradienten falsch an, da Wärme vom Stab weg in die Kruste diffundiert, sobald die Stabtemperatur über die Gradiententemperatur steigt. Auf der Greifhand reichen die atmosphärischen Temperaturen nicht aus: Sie müssen auch die sich ändernde Dichte und die zusätzliche Abkühlung berücksichtigen, die durch die massiven Konvektionsströme verursacht wird, die mit den erhöhten Temperaturen einhergehen.
Ich habe es bereits im Chat erwähnt, aber für diejenigen, die nicht dorthin gehen, fehlen (bisher) einige Punkte, wie Tag-Nacht-Variationen, Klimaeinfluss und saisonale Schwankungen. All das wird einige Unterschiede machen. Aber, und vielleicht noch wichtiger, die Rute wird ihre Umgebung beeinflussen. Intuitiv könnte es beginnen, die Erde abzukühlen und das Klima zu beeinflussen. Zunächst ganz nah und mit Schmetterlingseffekt auf der ganzen Erdoberfläche. Diese wirken sich auf alle Werte aus, die Sie tatsächlich in Ihr Modell eingeben. Also, wie Tim es hat, ja, es ist ein guter Ausgangspunkt. Die Frage ist vielleicht etwas anspruchsvoll, aber ...
Als ich anfing, dies zu berechnen, fand ich dieses Dokument unglaublich hilfreich. Sie können den Stab wie eine Nadelflosse in einer Flüssigkeit behandeln (außer im Weltraum hören Sie auf, das Q zu subtrahieren, das durch Konvektion an den Seiten des Stabs verloren geht).
@WhatRoughBeast Dies ist eine gestrichelte Annäherung. Ich war zwei Tage weg, und ich habe sicher nicht vor, es so zu lassen, wie es ist.

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