Intuition, warum die Orientierung (eines 3D-Objekts) keine Erhaltungsgröße ist?

Question

Intuition, warum die Orientierung (eines 3D-Objekts) keine Erhaltungsgröße ist?

Don Hatch

Angenommen, Sie beginnen im Raum zu schweben, in einer festen Position und Ausrichtung, mit einer Linear- und Winkelgeschwindigkeit von Null, ohne äußere Kräfte. Sie sind also ein geschlossenes mechanisches System. Indem du deinen Körper herumdrehst,

Sie können Ihren linearen Impuls nicht ändern.
Sie können Ihre Position (Schwerpunkt) nicht ändern.
Sie können Ihren Drehimpuls nicht ändern.
Sie können Ihre Ausrichtung (dh Drehung) ändern!

Die Tatsache, dass Sie Ihre Orientierung ändern können, überrascht mich - warum wird sie nicht wie die anderen drei Größen beibehalten? Es ist eine bekannte Tatsache – Katzen tun dies die ganze Zeit, um auf ihren Füßen zu landen, und Sie können Videos von Astronauten finden, die dies auf der internationalen Raumstation tun. Sehen Sie sich die von https://space.stackexchange.com/questions/2954/how-do-astronauts-turn-in-space verlinkten Videos an . Aber es erscheint mir immer noch kontraintuitiv, dass sie dies tun können, während sie die anderen drei Größen nicht ändern können. Gibt es eine intuitiv klare Erklärung dafür, warum?

Selene Rouley

Ihre Frage ist gut und subtil, daher habe ich nur eine Vermutung, dass das Folgende relevant sein könnte. Kennen Sie Richard Montgomerys „Gauge Theory of the Falling Cat“ ? Es ist eine andere Art, dieselbe Idee wie @Christoph auszudrücken - "Orientierung" ist nur so lange sinnvoll, wie Sie über denselben Punkt im Raum von Katzenformen (oder Konfiguration eines Massensystems) sprechen. Oder, umgekehrt gesagt, wir können einen vollen Konfigurationsraum eines Massensystems in Äquivalenzklassen von Konfigurationen verdichten, wobei unsere Äquivalenzrelation ...

Selene Rouley

...ist "durch eine Isometrie von einem zum anderen abbildbar". Montgomery fasst diese Ideen prägnant zusammen, indem er die Orientierung zu einem Eichfeld auf dem Raum von Katzenformen macht (ein Faserbündel mit dem Basisraum als Formen und Orientierungen als Faser).

Ruslan

Zufällige Idee: Kann es sein, dass die Orientierung irgendwie keine Erhaltungsgröße ist, weil Rotationen in verschiedenen Ebenen nicht pendeln? ..

JiK

@Ruslan Die Orientierung wird nicht beibehalten, selbst wenn die Bewegung auf eine einzige Ebene beschränkt ist.

zwöl

Es könnte hilfreich sein, darüber nachzudenken, wie Reaktionsräder ihre Wirkung erzielen.

Selene Rouley

@zwol Ich denke, das OP versteht perfekt, was los ist; vielmehr sucht er nach „Erkenntnissen“; Wie würde ein guter Pädagoge an diese Frage herangehen? Ich denke, das OP sucht nach prägnanten und definierenden Entsprechungen zwischen Translations- und Rotationssystemen, um klar zu sehen, wo sich die Entsprechungen unterscheiden, um überraschendes Verhalten zu erklären, wie er sagt.

Antworten (5)

Intuition, warum die Orientierung (eines 3D-Objekts) keine Erhaltungsgröße ist?

Ihre Frage ist gut und subtil, daher habe ich nur eine Vermutung, dass das Folgende relevant sein könnte. Kennen Sie Richard Montgomerys „Gauge Theory of the Falling Cat“ ? Es ist eine andere Art, dieselbe Idee wie @Christoph auszudrücken - "Orientierung" ist nur so lange sinnvoll, wie Sie über denselben Punkt im Raum von Katzenformen (oder Konfiguration eines Massensystems) sprechen. Oder, umgekehrt gesagt, wir können einen vollen Konfigurationsraum eines Massensystems in Äquivalenzklassen von Konfigurationen verdichten, wobei unsere Äquivalenzrelation ...
...ist "durch eine Isometrie von einem zum anderen abbildbar". Montgomery fasst diese Ideen prägnant zusammen, indem er die Orientierung zu einem Eichfeld auf dem Raum von Katzenformen macht (ein Faserbündel mit dem Basisraum als Formen und Orientierungen als Faser).
Zufällige Idee: Kann es sein, dass die Orientierung irgendwie keine Erhaltungsgröße ist, weil Rotationen in verschiedenen Ebenen nicht pendeln? ..
@Ruslan Die Orientierung wird nicht beibehalten, selbst wenn die Bewegung auf eine einzige Ebene beschränkt ist.
Es könnte hilfreich sein, darüber nachzudenken, wie Reaktionsräder ihre Wirkung erzielen.
@zwol Ich denke, das OP versteht perfekt, was los ist; vielmehr sucht er nach „Erkenntnissen“; Wie würde ein guter Pädagoge an diese Frage herangehen? Ich denke, das OP sucht nach prägnanten und definierenden Entsprechungen zwischen Translations- und Rotationssystemen, um klar zu sehen, wo sich die Entsprechungen unterscheiden, um überraschendes Verhalten zu erklären, wie er sagt.

John Rennie · Answer 1

Das liegt daran, dass das Trägheitsmoment keine Erhaltungsgröße ist.

Die Aussage, dass ein isolierter Körper seine Position nicht ändern kann, ist genauer gesagt die Aussage, dass ein isolierter Körper die Position seines Massenmittelpunkts nicht ändern kann. Die Position des Massenmittelpunkts, ${\bf R}$ , ist gegeben durch:

R = \frac{1}{M} \sum m_{ich} r_{ich}

${\bf R} = \frac{1}{M}\sum m_i {\bf r}_i$

wo $M$ ist die Gesamtmasse und die $m_i$ sind die Massen der einzelnen Elemente unseres Systems. Die Masse ist eine Erhaltungsgröße, also sind alle Massen in unserer Gleichung Konstanten und wenn wir nach der Zeit differenzieren, erhalten wir:

\dot{R} = \frac{1}{M} \sum m_{ich} {\dot{r}}_{ich} = \frac{P}{M}

$\dot{\bf R} = \frac{1}{M}\sum m_i \dot{\bf r}_i = \frac{\bf P}{M}$

wo ${\bf P}$ ist der Gesamtimpuls. Da der Impuls erhalten bleibt, muss der Gesamtimpuls konstant sein, und wenn wir erneut differenzieren, erhalten wir $\ddot{\bf R} = 0$ , also muss die Beschleunigung des Massenmittelpunktes immer Null sein.

Versuchen wir nun, dasselbe Argument auf das Winkeläquivalent des Massenmittelpunkts anzuwenden. In Analogie zum Massenmittelpunkt können wir einen Winkelmittelpunkt definieren als:

Θ = \frac{1}{ich} \sum {ich}_{ich} θ_{ich}

$\Theta = \frac{1}{I}\sum I_i \theta_i$

Der nächste Schritt besteht darin, zu versuchen, zu differenzieren $\Theta$ zweimal in Bezug auf die Zeit in der Hoffnung zu erhalten $\ddot{\Theta} = 0$ . Das Problem ist, dass weder das Gesamtträgheitsmoment noch die Momente der einzelnen Elemente Konstanten sind, sondern Funktionen der Zeit sein können. Im Allgemeinen wird unser Ergebnis sein:

\ddot{Θ} \neq 0

$\ddot{\Theta} \ne 0$

was bedeutet, dass $\Theta$ ist keine Konstante.

Ich mag diese Antwort. Ich denke, es fängt die Essenz dessen ein, warum Dinge kaputt gehen, und gibt auch einen Hinweis darauf, wie man Schwerelosigkeitsrollen und Cat Flips bewerkstelligt: Es ist einfach, das eigene Trägheitsmoment zu ändern, zB indem man die Arme ausstreckt oder einzieht.
Kommentar zur Antwort (v1): Es sollte betont werden, dass ein Winkel als mehrwertige Funktion geboren wird . Eine einwertige Definition eines Winkels hängt von einer Astwahl ab, die nicht überall stetig gewählt werden kann. Dies gefährdet etwas die Vorstellung eines Winkelzentrums.
@Qmechanic, vielleicht könnte dies repariert werden, indem der Winkel als normalisierter Vektor betrachtet wird. $(\cos \theta, \sin \theta)$ ? Es gibt ein ähnliches Problem und eine Lösung in Richtungsstatistiken .
@A.Donda gäbe es immer noch eine große Klasse von Objekten, deren Vektor "Winkelmittelpunkt" der (richtungslose) Nullvektor war, obwohl sie eine erkennbare Ausrichtung hatten (dh keine Kreissymmetrie).

Christoph · Answer 2

John hat richtig gesagt, dass dies möglich ist, weil die Neukonfiguration unseres Körpers es uns erlaubt, unser Trägheitsmoment zu ändern, aber nicht unsere Masse.

Da es bei der Frage um eine intuitive Erklärung ging, sollten Sie eine Reihe schwebender Gewichte hinzufügen, um eine analoge Situation für die Translationsbewegung zu erhalten:

Der Astronaut streckt seine Arme über den Kopf, greift nach einem Gewicht, bewegt es am Körper entlang und lässt es an der Taille los. Wenn Sie dies wiederholt tun, kann der Astronaut seine Position ändern.

Im Detail beginnend mit eingezogenen Armen bei Rotationen und erhobenen Armen bei Translationen:

\begin{array}{ll} Drehung & Übersetzung \\ Breite deine Arme aus & Gewicht aufnehmen \\ Trägheitsmoment zu erhöhen & Masse zu erhöhen \\ verdrehe deinen Körper & Unterarme \\ Orientierung zu ändern & COM des Körpers zu bewegen \\ Arme zurückziehen & Gewicht fallen lassen \\ um das Trägheitsmoment zu verringern & Masse zu verringern \\ Drehen Sie den Körper auf, um zurückzukommen & Arme heben, um zurückzukommen \\ in die anfängliche Körperkonfiguration & in die anfängliche Körperkonfiguration \end{array}

$\begin{array}{l|l} \textbf{rotation} & \textbf{translation} \\ \hline \text{spread your arms} & \text{pick up weight} \\ \text{to increase moment of inertia} & \text{to increase mass} \\ \hline \text{twist your body} & \text{lower arms} \\ \text{to change orientation} & \text{to move COM of body} \\ \hline \text{retract arms} & \text{drop weight} \\ \text{to decrease moment of inertia} & \text{to decrease mass} \\ \hline \text{untwist body to get back} & \text{raise arms to get back} \\ \text{into initial body configuration} & \text{into initial body configuration} \\ \end{array}$

Der letzte Schritt wirkt der Drehung / Vorwärtsbewegung entgegen, aber da das Trägheitsmoment / die Masse geringer ist als in Schritt 2, gibt es eine Nettoänderung der Ausrichtung / Position.

Ich muss gestehen, dass ich den Zusammenhang zwischen dieser Beschreibung und der Frage nicht ganz sehe. Fügen Sie vielleicht etwas mehr klärendes Material hinzu und weisen Sie auf die Entsprechung zwischen diesem Translationsfall und dem Rotationsfall hin und wo/warum die Entsprechung zusammenbricht?

dfeuer · Answer 3

Es scheint hilfreich, ein extrem einfaches Szenario zu betrachten. Angenommen, ein Astronaut schwebt in der Nähe von zwei Bleikugeln; das geschlossene System besteht in diesem Fall aus dem Astronauten samt Kugeln. Sie kann die Kugeln zusammenziehen, ohne den Impuls oder Drehimpuls des Systems zu verändern. Sie kann sie dann fast unverändert in der Mitte drehen und wieder trennen. Wenn Sie diese kleine Drehung in der Mitte stört, können Sie sich vorstellen, dass sie stattdessen drei Bleistangen hat, sie zusammenzieht, sodass eine zwischen die beiden anderen rutscht, und sie dann entlang einer anderen Achse auseinanderzieht. Die tatsächliche Mechanik der Bewegung von Mensch und Katze ist natürlich komplexer, aber Sie können sich Bewegungen wie das Heben und Senken der Arme und das Schwingen nach vorne und hinten als im Wesentlichen ähnlich vorstellen.

Stellen Sie sich vor, dass Ihr ganzer Körper starr und gerade gehalten wird, außer dass Sie Ihre Arme an Ihren Schultern schwingen können. Beginnen Sie mit Ihren Armen an Ihren Seiten. Heben Sie sie nun nach oben und nach vorne, als würden Sie beim Volleyball einen Ball stoßen, bis sie senkrecht zu Ihrem Körper stehen. Ihr Körper neigt sich nach vorne. Ziehen Sie nun Ihre Arme nach links und rechts auseinander. Sie werden wieder nach vorne kippen. Schließlich drücken Sie Ihre Arme wieder nach unten zu Ihren Seiten. Sie werden sich überhaupt nicht neigen, sondern zu Ihrer ursprünglichen Körperform zurückkehren, nur relativ zu Ihrer ursprünglichen Ausrichtung nach vorne geneigt.

+1, aber vielleicht wäre ein einfacheres Beispiel, sich selbst zu drehen, einfach Ihre beiden Hände in konstanter Kreisbewegung zu schwingen: Während Sie weiter schwingen, dreht sich Ihr Körper in die entgegengesetzte Richtung (Sie beginnen genau so, wie Sie es beschrieben haben, aber anstatt Halten Sie an und ziehen Sie Ihre Arme auseinander, schwingen Sie einfach weiter).
@kristjan, diese Bewegung ist zwar einfacher, scheint aber etwas schwieriger zu analysieren, da die Arme nicht um den Massenmittelpunkt schwingen.
@dfeuer, dies ist eine gute Erklärung dafür, wie die Orientierung geändert werden kann, aber das wurde an anderer Stelle ausführlich analysiert ... viele Artikel darüber, wie Katzen sich selbst in Ordnung bringen, und Fragen, die dazu in der Tat in diesem Forum beantwortet werden. Bei meiner Frage geht es eher darum, zu versuchen, eine Intuition darüber zu gewinnen, warum bestimmte Größen erhalten bleiben und andere nicht, entgegen meiner Intuition, dass dies alles ähnliche Arten von Größen sind.
Es gibt eine gute Übersicht mit Videolinks in den Antworten auf space.stackexchange.com/questions/2954/…

Glatter Raum · Answer 4

Glatter Raum

Hier ist eine einfachere Antwort: Wenn etwas seine Form ändern kann, dann hat es nicht wirklich eine Orientierung.

Ruslan

Stellen Sie sich einen bunten Gummiball mit Sand vor. Es kann seine Form ändern, aber Sie können seine Ausrichtung jederzeit anhand seiner Farben erkennen.

Glatter Raum

es kann seine Form ändern und wenn es das tut, kann es in einer anderen Ausrichtung enden.

Ruslan

Ja, aber Sie behaupten, dass es in Ihrer Antwort keine Orientierung gibt.

Don Hatch

Es ist für mich nicht offensichtlich, dass eine nicht starre Form keine sinnvolle Ausrichtung hat. Bei Interesse machst du einige Verrenkungen und entspannst dich dann wieder zu einer kanonischen Form. In diesem Fall ist Ihre gesamte Orientierungsänderung genau definiert, genau wie bei einem starren Körper. (Es kann als Matrix oder Quaternion quantifiziert werden.) Was mich stört, ist, dass Sie nach dem Ausführen von Verzerrungen feststellen, dass Sie keine Geschwindigkeits- oder Positionsänderung erreichen oder sich selbst zum Drehen bringen konnten ... aber irgendwie konnten Sie sich ändern deine Orientierung. Ist das nicht überraschend?

Glatter Raum

Es kann die Orientierung ändern, also hat es nicht wirklich eine Orientierung. Ich hätte sagen sollen, dass es nicht wirklich eine feste, unveränderliche Ausrichtung hat, aber es war eher ein Samenkorn, um die Leute zum Nachdenken und Verstehen des Warums zu bringen.

Glatter Raum

Vielleicht ist ein besserer Weg zu verstehen, dass Massenschwerpunkt, Drehimpuls, linearer Impuls das System messen und die Ausrichtung innerhalb des Systems geändert werden kann, wodurch Atome herumbewegt werden.

Don Hatch

Richtig, die Ausrichtung kann geändert werden und die anderen bleiben erhalten ... aber ich sehe nicht, dass Sie hier mehr sagen als das, was in der Frage beobachtet wurde. Die Frage ist, warum die Orientierung innerhalb eines geschlossenen Systems veränderbar ist, wenn die anderen drei es nicht sind – das scheint mir wirklich überraschend.

Glatter Raum

o, weil Orientierung die Beschreibung aller Teile innerhalb des Systems ist und die anderen Qualitäten das gesamte System als ein einzelnes Objekt messen.

Superkatze · Answer 5

Eine noch einfachere Antwort als die anderen hier gegebenen ist, dass die Drehung eines Objekts um eine ganze Zahl von Umdrehungen es in demselben scheinbaren Rotationszustand belässt wie zuvor. Wenn man im Raum ein Objekt mit zwei koaxialen Teilen hat, deren Momente zB ein x:y-Verhältnis haben und die Teile relativ zueinander rotieren, macht ein Teil y-Rotationen für jede x-Rotation des anderen. Wenn z. B. x 1,1 und y 1,0 ist, dann macht y 1,1 Umdrehungen, wenn x eine volle Umdrehung macht. Obwohl diese Zahlen wie von ihren Momenten vorgeschlagen ausgeglichen werden, scheint x in seiner ursprünglichen Ausrichtung zu sein und y scheint sich um 0,1 Umdrehungen gedreht zu haben.

Alle anderen Beispiele, die sich ändernde Momente beinhalten, beinhalten effektiv, dass einige Teile des Systems eine vollständige Drehung relativ zu anderen Teilen ausführen und dann in der gleichen scheinbaren Ausrichtung enden.

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