Ist die Normalkraft gleich der Gewichtskraft, wenn wir die Erdrotation berücksichtigen? [Duplikat]

Sie haben Recht, dies in Frage zu stellen. Die Normalkraft ist gleich der Gewichtskraft, wenn die Beschleunigung in Richtung dieser Kräfte liegt$0$. Genauer gesagt,

Es gibt viele Beispiele, wo$N\neq mg$. Beispielsweise übersteigt bei einem Aufzug, der sich nach oben bewegt, die Normalkraft Ihr Gewicht, damit Sie nach oben beschleunigen können.

In deinem Beispiel der Erde ist die Beschleunigung gleich$\frac{v^2}{r}$Wo$v$ist Ihre lineare Geschwindigkeit und$r$ist der Radius der Erde. Deshalb$^*$,

Bei einer Kiste, die schräg auf einer Schräge aufliegt$\theta$, die Normalkraft und das Gewicht stimmen nicht überein, und so stellt sich heraus, dass

Wie Sie sehen, können wir diese Kräfte nur dann wirklich als gleich annehmen, wenn sie in die gleiche Richtung wirken und keine Beschleunigung vorliegt. (Wieder einmal könnten Sie sich wahrscheinlich einige Beispiele ausdenken, um dies nicht der Fall zu machen, aber ich spreche hier allgemeiner.)

$^*$Der Wert von$g$Ich verwende hier die Annäherung an eine ruhende kugelförmige Erde, damit$g=\frac{GM}{R^2}$Wo$G$ist die Gravitationskonstante,$M$ist die Masse der Erde, und$R$ist der Radius der Erde. Wenn Sie in Betracht gezogen haben$g$der Messwert der Beschleunigung in der Nähe der Erdoberfläche sein, dann würde bereits bei dieser Messung der Zentrifugaleffekt wirken. Auf jeden Fall bleibt der Punkt, dass die Normalkraft nicht gleich der Schwerkraft zwischen Ihnen und der Erde ist.

Ich möchte die Schlussfolgerung aus der großartigen Antwort von @ AaronStevens abschließen. In dem wahreren Ausdruck für Normalkraft (auf ebenem Boden), zu dem er gelangt,

Die Erdrotation fügt den Begriff hinzu$\frac{v^2}{r}$weicht also von der Erwartung ab$N=mg$. Wie groß ist der Einfluss von$\frac{v^2}{r}$?

Der Radius der Erde ist rund$r=6400\;\mathrm{km}$. An einem Tag, das ist$t=24\,\mathrm{hr}=86400\,\mathrm s$bewegen wir uns durch den gesamten Umfang der Erde, das heißt$d=40200\,\mathrm{km}$. Das gibt uns eine konstante Geschwindigkeit von ca$v=d/t=465\,\mathrm{m/s}$. Ich bin mir bewusst, dass ich hier grobe Zahlen verwendet habe, von oben nach oben, hauptsächlich passend zum Äquator. Sie können versuchen, die Berechnungen mit genaueren Werten zu wiederholen.

Wenn wir einstecken$r$Und$v$, erhalten wir so etwas wie:

Vergleichen Sie dies mit$g=9.80\,\mathrm{m/s^2}$. Der Beitrag des Erdspins zur effektiven Erdbeschleunigung$(g-\frac{v^2}{r})$beträgt also nur etwa 0,3 %. Sie können versuchen, eine Normalkraft für ein Objekt mit und ohne diesen Einfluss zu berechnen und zu sehen, ob es einen signifikanten Unterschied innerhalb signifikanter Zahlen gibt.

@Aaron hat es mit Mathematik gut erklärt.

Lassen Sie es mich qualitativ kurz erläutern und auch eine etwas andere Betrachtungsweise anführen.

• Nach dem Gedankengang in @ Aarons Antwort ist die Normalkraft nicht gleich Masse multipliziert mit g.

• Die Differenz zwischen der Gravitationskraft und der Normalkraft sorgt also für eine Zentripetalbeschleunigung, die Sie im Kreis mit der Erde dreht.

• In den meisten Fällen wird jedoch der Effektivwert von g verwendet, anstatt g als Erdbeschleunigung zu verwenden. Im effektiven g werden auch die Zentrifugalkraft (von unserem Bezugsrahmen aus gesehen) und andere Faktoren wie Höhen- und Breitengradschwankungen berücksichtigt.

Hier ist ein Diagramm eines idealen kugelförmigen Erdradius$R$, Masse$M$sich mit einer Winkelgeschwindigkeit dreht$\omega$mit einer Objektmasse$m$in Kontakt mit der Erdoberfläche.

Das Objekt auf der Erde unterliegt zwei Kräften: der Gravitationsanziehung$\frac{GMm}{R^2}=mg$Wo$g$ist die Gravitationsfeldstärke und eine Reaktion aufgrund der Erde$N$.

Die Nettokraft auf das Objekt erzeugt die Zentripetalbeschleunigung des Objekts.

An den Polen gibt es also keine Zentripetalbeschleunigung$mg -N_{\rm pole} = m 0 \Rightarrow N_{\rm pole} = mg$die Gleichung, die Sie in Ihrem ersten Satz zitiert haben.

Am Äquator lautet die Bewegungsgleichung$mg - N_{\rm equator} = mR\omega^2$Also die normale Reaktion$N_{\rm equator}$kleiner als die Gravitationsanziehung ist$mg$.

An anderen Punkten der Erde die Reaktion$N$kleiner als die Gravitationsanziehung ist$mg$aber nicht so stark wie am Äquator, aber Sie werden feststellen, dass diese Reaktion auf einer kugelförmigen Erde nicht mehr normal zur Erdoberfläche ist.

Eine bessere Annäherung an die Form der Erde ist, dass es sich um ein abgeflachtes Sphäroid (wie eine gequetschte Kugel) handelt, wie unten stark übertrieben dargestellt.

Da die Erde diese Form hat, ist die Reaktionskraft auf die Masse senkrecht zur Oberfläche und im Allgemeinen zeigt eine Lotlinie nicht zum Erdmittelpunkt.
Nun muss noch eine Korrektur als Wert der Gravitationsfeldstärke vorgenommen werden$g$variiert zwischen einem Maximum an den Polen und einem Minimum am Äquator.

Das ist eine vernünftige Frage. Wenn die Erde isoliert, nicht rotierend und perfekt kugelförmig wäre, dann$g$wäre überall auf der Oberfläche gleich. Aber es ist keines dieser Dinge. Sie haben Recht, dass die Zentripetalbeschleunigung das gemessene Gewicht eines Objekts verringert. Das kann man sich leicht ausrechnen: Die Zentripetalbeschleunigung reduziert effektiv das Gewicht einer Masse (am Äquator)$m$um einen Betrag gleich$m$x Winkelrotationsgeschwindigkeit x Erdradius. Dies wird durch die Tatsache weiter erschwert, dass die Erde ein leicht abgeflachtes Sphäroid ist und daher$g$variiert leicht mit dem Breitengrad. Diese Faktoren werden ausführlich in Wikipedia diskutiert .