Zentripetal- und Zentrifugalkraft

Sie haben zwei Fragen.

Hier ist die Antwort auf Ihre erste Frage: „ Warum kommt der Stein nicht zurück/erreicht nicht den Mittelpunkt des Kreises? “

Die Antwort ist, dass der Stein auf die exakte Mitte des Kreises zubeschleunigt. Die Geschwindigkeit setzt sich aus Geschwindigkeit UND Richtung zusammen. Wie Sie bemerkt haben, ändert sich die Geschwindigkeit ständig, die Geschwindigkeit jedoch nicht. Das hängt mit deiner zweiten Frage zusammen.

" Werde mir jemand sagen, aus welchen zwei Geschwindigkeitsvektoren dieser resultierende Geschwindigkeitsvektor für Punkt B erhalten wird ?"

Angenommen, Punkt B ist entlang des Kreises nur einen extrem kleinen Abstand von Punkt A entfernt. Nachdem Sie diesen gezeichnet haben, werden Sie feststellen, dass der Vektor B ganz leicht in Richtung der Mitte des kreisförmigen Pfads abgewinkelt ist. Die Spitze von Vektor A berührt das Ende des extrem kleinen Vektors, der Vektor A mit Vektor B verbindet. Mit anderen Worten, Vektor A plus der winzige Vektor ergeben Vektor B. Denken Sie daran, dass wir über ein unendlich kleines Inkrement sprechen.

Wenn Sie dies auf Papier zeichnen, sehen Sie, dass der sehr kleine Vektor theoretisch direkt auf die Mitte der Kreisbahn zeigt. Dieser winzige Vektor repräsentiert die Änderung der Geschwindigkeit oder Beschleunigung. Der Stein beschleunigt auf das Zentrum des Kreises zu. Es bewegt sich ständig auf das Zentrum des Kreises zu, aber es erreicht es nie. Die Beschleunigung$\frac{v^2}{r}$, kann geometrisch aus den Radiusvektoren und den Geschwindigkeitsvektoren abgeleitet werden.

Der Stein erreicht nie den Mittelpunkt des Kreises, da er sich aufgrund der leichten Vektordrehung zum Mittelpunkt des Kreises hin bewegt und dazu neigt, sich tangential in einer geraden Linie zu bewegen und ihn vom Mittelpunkt des Kreises wegführt. Dieser ständigen Bewegung nach innen steht eine ständige Bewegung nach außen entgegen, was zu keinem Fortschritt zum Mittelpunkt des Kreises führt. Der Stein möchte sich ständig in einer geraden Linie von der Mitte weg bewegen, aber die Kraft in der Schnur zieht ihn für jeden Zeitschritt um den gleichen Betrag nach innen.

Wenn Sie ein Seil über Ihren Kopf schwingen, bewegen sich Ihr Arm, der Stein und das Seil im Kreis. Das heißt, alle verschiedenen Stücke haben tangentiale Geschwindigkeiten (Tangente an Kreise). Das Seil überträgt die Kräfte zwischen Hand und Fels so, dass das Seil immer unter Spannung steht.

Wenn die ausgeübte Kraft zunimmt, nehmen sowohl die Zentripetal- als auch die Zentrifugalkraft zu, und die Tangentialgeschwindigkeit nimmt zu, und die Spannkraft im Seil nimmt zu.

Hier passieren zwei Dinge. Die auf den Fels wirkenden Kräfte sind gleich und wirken entlang der Achse zum Seil entgegengesetzt. 90 Grad dazu sind zwei weitere gleich große und entgegengesetzte „Reaktionen“, eine ist die Tangentialgeschwindigkeit, der die Trägheit des Gesteins (und Luftwiderstand) entgegenwirkt, die nicht beschleunigt werden will.

Wenn Sie also Vektoren zeichnen (vier Pfeile, die auf den Felsen zeigen), sind sie alle um 90 Grad voneinander entfernt. Zwei sind Kräfte, zwei sind Trägheit. Sie sind in gleichen und entgegengesetzten Paaren.

Die Parametergleichung eines Kreises (zur Vereinfachung nehme man$r=1$) ist gegeben durch$x=\cos(\theta)$Und$y=\sin(\theta)$also der radiale Vektor$\vec{r}(t)$wird von gegeben

Da die Beschleunigung die zweite Ableitung des Positionsvektors ist, ist sie gegeben durch$\ddot{\vec{r}}=\vec{a}=-\omega^2\cdot\vec{r}$, von wo aus man auf die Zentripetalkraft gelangt.

Was ich sagen werde, mag wie ein Zirkelschluss aussehen, aber wenn Sie mit dieser Differentialgleichung beginnen und sie lösen, werden Sie sehen, dass die Bewegungsgleichung tatsächlich durch einen Kreis gegeben ist. Der Grund, warum ich rückwärts gegangen bin, ist, dass ich keine Vektor-ODE lösen wollte.

Außerdem darf man Zentripetal- und Zentrifugalkraft nicht verwechseln, da letztere eine fiktive Kraft ist, die nur in einem nicht-trägen System beobachtet werden kann. Um Wikipedia zu zitieren

In der klassischen Mechanik ist die Zentrifugalkraft eine nach außen gerichtete Kraft, die bei der Beschreibung der Bewegung von Objekten in einem rotierenden Bezugssystem entsteht.

Zusammenfassend gibt es in einem Trägheitsrahmen keine Zentrifugalkraft und die Kräfte heben sich nicht auf, daher gibt es eine Nettobeschleunigung. Ich denke, das hat deine erste Frage beantwortet.

Der Geschwindigkeitsvektor ist gegeben durch

Lassen Sie den Ball sein$A$zum Zeitpunkt$t=t_0$und bei$B$zum Zeitpunkt$t=t_1=t+\tau$($\tau$klein ist) dann der Vektor$\vec{c}$was die Änderung des Geschwindigkeitsvektors zeigt$\vec{v_A}$ist das Folgende

Im Stein- und Seilbeispiel haben Sie ein typisches Beispiel für Newtows drittes Gesetz. Der Stein bewegt sich auf einer Kreisbahn, weil er durch das Seil zur Mitte gezogen wird. Nach Newtons drittem Prinzip zieht der Stein nun mit einer entgegengesetzten Kraft am Seil, die der Größe nach der ersteren gleicht. Dass die Arbeit null ist, kommt daher, dass die Zentripetalkraft, die den Stein auf einer Kreisbahn hält, senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor steht.