Was ist die richtige Vektorform für die Gravitationsformel?

Wir kennen die Gleichung zur Berechnung der Geschwindigkeit eines Objekts in der Umlaufbahn bei gegebener zentraler Masse (oder der Masse bei gegebener Umlaufgeschwindigkeit):

v 2 R = M G R 2
Ich versuche dies als ein Netz von Kräften in Vektorform zu verstehen (unter der Annahme einer Einheitsmasse in diesen Formeln):
v 2 R → = M G R 2 →
Die Zentripetalkraft ist zum Zentrum gerichtet (entgegengesetzt zum Normalenvektor der Oberfläche), aber auch die Schwerkraft. Die skalare Form (unter der Annahme, dass die positive Kraft radial nach außen gerichtet ist) wäre:
− v 2 R = − M G R 2
Wie funktioniert dieses Gleichgewicht? Die Nettokraft soll Null sein, aber wenn Sie neu anordnen, erhalten Sie:
− v 2 R + M G R 2 ≠ 0
Wie ordnen Sie diese Komponenten an, um eine Nettokraft von Null zu erhalten (vorausgesetzt, es gibt keine Zentrifugalkraft)?

Woher wissen Sie in Ihrer letzten Zeile, dass die Summe nicht 0 ist?
Weil bewegt M G R 2 auf der gleichen Seite der Gleichung wie die Zentripetalkraft sie in Antigravitation umwandeln würde. Wenn ich dies als Gleichung für das Kräftegleichgewicht aufstelle, beginne ich mit der Tatsache, dass ich weiß, dass die Zentripetal- und die Gravitationskraft beide in dieselbe (negative) Richtung zeigen. Wie bringt man zwei negative Kräfte dazu, sich auf Null auszugleichen?
Ja, aber wie sich herausstellt v 2 R = M G R 2 , also ist die Summe tatsächlich 0 . Keine Antigravitation hier. Die Zentripetalkraft ist keine zusätzliche Kraft, die Zentripetalkraft wird durch die Schwerkraft bereitgestellt.
Donald, das ist eine wirklich wichtige Idee, wenn Sie Probleme mit Umlaufbahnen lösen wollen, und sie ist so einfach, dass sie leicht übersehen werden kann. Es gibt keine separate Zentripetalkraft: Sie kommt immer von einer Kombination physikalischer Kräfte, die im Problem vorhanden sind.

Antworten (5)

Nach einem Kommentar wird klar, dass hier ein tiefes Missverständnis vorliegt und der Fragentitel nichts mit dem eigentlichen Problem zu tun hat.

Lassen Sie uns etwas grundlegendes klarstellen: Es gibt keine „Zentripetalkraft“. Das ist keine Kraft da draußen, die auf magische Weise beschließt, zu entstehen, wenn sich ein Objekt im Kreis bewegt. Vielmehr ist „zentripetal“ eine Bezeichnung für jene wirklichen Kräfte, die auf das Zentrum zeigen.

Eine Zentripetalkraft ist eine Kraft, die zum Zentrum zeigt und eine Beschleunigung quer zur Bewegungsrichtung bewirkt. Vorausgesetzt, die Bewegung hat Geschwindigkeit v und Radius R Sie können wissen, dass die Größe der Beschleunigung ist v 2 / R und die Stärke der Kraft ist M v 2 / R .

In diesem Fall ist diese Zentripetalkraft die Schwerkraft. Das ist die einzige Kraft, die hier am Werk ist. Und weil es auf das Zentrum zeigt, können wir es auch als "zentripetal" bezeichnen und wissen, dass seine Größe sein muss M v 2 / R damit die Umlaufbahn kreisförmig ist.

Als allgemeine Regel bezeichnet man die Zentripetalkraft in einer bestimmten Situation als die Summe der zum Rotationszentrum weisenden Kraftkomponenten abzüglich der Summe der vom Zentrum wegweisenden Kraftkomponenten:

F C = M v 2 R = ∑ ich F ich , ich N − ∑ ich F ich , Ö u T .

Wenn Sie fragen, wie die Dinge angeordnet werden müssen, um eine Nullkraft zu erhalten, stellen Sie die falschen Fragen: Es gibt und sollte eine Nettokraft auf den umlaufenden Körper wirken, da er einer kontinuierlichen Beschleunigung ausgesetzt ist.

Ein paar der üblichen Beschwörungen sind

F G = − G M R 3 R → ,

Und

F G = − G M R 2 R ^ .

In beiden Fällen wird die Richtung als das Negative des Radiusvektors zum Betrachtungspunkt genommen, was ihm die korrekte (innere) Richtung gibt. Die Entscheidung, den Einheitsvektor zu verwenden oder nicht, scheint eher auf persönlicher Basis als auf der Grundlage eines gut artikulierten Grundes getroffen zu werden.

Danke, aber ich sehe nicht, wie das beim Ausgleich der Kräfte hilft. Ich stimme zu, dass die Schwerkraft nach innen gerichtet ist (in die negative Richtung), aber auch die Zentripetalkraft.
@DonaldRoyAirey Die Kräfte sind nicht ausgeglichen, weil das Objekt um die zentrale Masse beschleunigt M . dmckee hat bei der Beantwortung Ihrer Frage eine hervorragende Erklärung gegeben. Wenn Sie eine Vektornotation benötigen, ziehen Sie dies in Betracht
− G M 1 M 2 R 12 2 R ^ 12
woher der Einheitsvektor zeigt M 1 zu M 2 .

Dies ist ein sehr häufiges "Gotcha" für Anfänger und etwas, das meiner Meinung nach in Lehrbüchern überhaupt nicht gut behandelt wird. Das Problem liegt in der Semantik, nicht in der Physik. Der Begriff Zentripetalkraft bezeichnet keine physikalische Kraft, wie es die Gravitationskraft und die elektrostatische Kraft tun. Die Wörter Zentripetalkraft stehen für das Nettoergebnis realer Kräfte in dem Fall, in dem die Nettokraft auf ein Zentrum zeigt.

Auf einem Riesenrad beispielsweise wirken zwei Kräfte auf eine Person: die Schwerkraft (aufgrund der Erde) und die Normalkraft (aufgrund des Stuhls). Die Vektorsumme dieser Punkte zeigt in Richtung der Achse, daher nennen wir die Summe die Zentripetalkraft . Es gibt keine zusätzliche Kraft, die wir Zentripetalkraft nennen würden.

In Ihrem Fall wirkt eine Kraft auf das Objekt, die Schwerkraft. Es gibt keine zusätzliche Zentripetalkraft.

Das. Die Sprache, die wir „die Zentripetalkraft“ verwenden, ist ein riesiger Stolperpunkt. Zumal es normalerweise kurz nach einem Kapitel eingeführt wird, in dem Schwerkraft, Reibung und „die Normalkraft“ alle ihren Auftritt haben. Es ist ein Wunder, dass nicht jeder letzte Schüler darüber verwirrt ist.

Ein pädagogischer Hinweis: Da die Schüler regelmäßig versuchen, nach der Zentripetalkraft zu suchen und verwirrt zu werden (wie in anderen Antworten hier angemerkt), versuche ich zu betonen, dass eher die Beschleunigung als die Kraft zentripetal ist (obwohl die Summe zentrumsgerichtet ist ). Da die Beschleunigung immer das Ergebnis einer Summe ist, habe ich festgestellt, dass weniger Schüler in meinen Klassen von dieser Aussage für Kreisbewegungen verwirrt sind:

1 M ∑ ich ( F R ) ich = − A R = − v 2 R .

Das Minuszeichen entsteht, wenn Sie die positive radiale Richtung vom Mittelpunkt der Umlaufbahn nach außen definieren.

Berechne die Kräfte, finde die Beschleunigung und entscheide schließlich , ob die Beschleunigung (oder eine ihrer Komponenten) zentripetal ist. Dann suchen Sie nicht nach einer Zentripetalkraft.

Hmm ... schön. Erst in diesem Semester habe ich begonnen, mit dem Gedanken zu spielen, bekannte Kreisbewegungen parallel zu unserer Behandlung des Gleichgewichts zu behandeln. „Wenn Sie wissen, dass sich ein Objekt im Gleichgewicht befindet, dann ist seine Beschleunigung Null und daher auch die Nettokraft; wenn Sie wissen, dass sich ein Objekt in Kreisbewegung befindet, wissen Sie, dass seine Beschleunigung gleich ist v 2 / R zur Mitte hin und damit die Nettokraft ist M v 2 / R in die gleiche Richtung.

Zentripetalkraft ist keine echte Kraft. Es ist ein Konstrukt zur Darstellung der Summe verschiedener Kräfte, die eine Kreisbewegung verursachen. Bei einer Umlaufbahn ist die Gravitationskraft die Zentripetalkraft, die Sie in der ersten Gleichung angegeben haben. Sie sind KEINE Gegensätze, wie Sie in der Frage gestellt haben. Sie werden nicht so angeordnet, dass sie eine Nettokraft von Null haben. Eine Nettokraft von Null würde bedeuten, dass sich das Objekt nicht in Kreisbewegung befindet. Ein Objekt in Kreisbewegung hat immer eine Nettokraft (Zentripetalkraft), die auf das Rotationszentrum gerichtet ist. Im Falle einer Umlaufbahn ist die Gravitationskraft die einzige Kraft, die auf das Objekt wirkt, und es ist die Zentripetalkraft. Wenn Sie einen an einer Schnur befestigten Gegenstand im Kreis drehen würden, wäre die Spannung in der Schnur die Zentripetalkraft.

Nach Ihrer eigenen Überlegung ist die Gravitationskraft keine wirkliche Kraft. Das ist falsch.
@Gert du hast das Argument hier falsch verstanden. „Zentripetal“ ist und war schon immer eine Bezeichnung für eine Reihe realer Kräfte. Die eigentliche Kraft ist hier die Schwerkraft (wobei die Komplikationen von GR für den Moment ignoriert werden), und es gibt keine separate Zentripetalkraft. Sie sind gleich.
@dmckee: Ich werde die Semantik im Hinterkopf behalten, aber es klingt für mich sehr nach einer Unterscheidung ohne Unterschied .
Dies ist keine semantische Unterscheidung, sondern grundlegend. Die Schwerkraft ist eine Kraft. „Zentripetal“ ist keine Kraft, sondern eine Bezeichnung für eine Summe von Kraftkomponenten. Was in die Summe kommt, ist von Problem zu Problem verschieden. Hier ist die Schwerkraft, für ein Auto, das in einem Kreisverkehr fährt, ist es die Reibung, für einen Stuntman, der um einen vertikalen Looping fährt, ist es die normale Kraft auf seine Reifen plus M G cos ⁡ θ (mit Theta von vertikal nach oben gemessen).

Sie sind etwas verwirrt über die Bedeutung der Zentripetal- und Zentrifugalkraft. Erstens ist in einem Bezugssystem, das relativ zum Massenmittelpunkt ruht, die Schwerkraft die Zentripetalkraft (nur weil sie zum Zentrum zeigt). Mein Eindruck ist, dass Sie davon ausgegangen sind, dass es zwei Kräfte gibt, die Schwerkraft und die Zentrifugalkraft. Zweitens müssen in einem Bezugssystem, in dem die rotierende Masse ruht, zwei Kräfte vorhanden sein, die sich gegenseitig ausgleichen. Was ist diese zweite Kraft? Es wird eine Pseudokraft genannt, die erscheint, wenn Sie sich nicht in einem Trägheitsrahmen befinden (der rotierende Rahmen ist nicht träge). Im Falle eines rotierenden Bezugsrahmens ist die Pseudokraft eine der Schwerkraft entgegengesetzte Zentrifugalkraft. Deshalb ruht die Masse in diesem Bezugssystem.

Was ist die richtige Vektorform für die Gravitationsformel?
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