Ist die unten gezeigte Gleichung die richtige für ein Flugzeug, das auf der Höhe der Kármán-Linie fliegt?

Wenn ich mir nur Ihre Gleichungen ansehe, kann ich sagen, dass die erste der Wahrheit näher zu sein scheint. An der Karman-Linie (die die Grenze zwischen „Atmosphäre“ und Raum zu sein scheint) haben Sie rho (Luftdichte) näher an 0. Unendlich nahe an 0. Der zweite Term der Gleichung wäre also 0. Wenn Sie dies bedenken In Ihrer zweiten Gleichung würden Sie erhalten, dass die Gravitationskraft an der Karmans-Linie 0 wäre, was falsch ist. Sie können jedoch etwas nicht berücksichtigen, den luftinduzierten Luftwiderstand. Wenn Sie aerodynamischen Auftrieb haben, haben Sie Luftwiderstand. Aus diesem Grund kann man keinen umlaufenden Körper in der Erdatmosphäre haben, der Luftwiderstand würde ihn einfach zu schnell verlangsamen. Wenn Sie einen Horizontalflug an der Karmans-Linie halten möchten, haben Sie ein weiteres kleines Problem. Ihr Alpha müsste nahe bei 0 liegen, wobei Alpha der Anstellwinkel ist.

Ich glaube, ich habe es gelöst ... Ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube, ich bin auf dem richtigen Weg.

Sie waren der richtigen Lösung sehr nahe und Sie hatten sehr recht, dass die verknüpfte Gleichung zur Beschreibung der tatsächlichen Flugbahn einer "Karman-Ebene" nutzlos ist - sie funktioniert nur für eine flache Erde :) Die Karman-Linie ist eine Abstraktion, die nur sehr wenig physikalische Bedeutung hat in die reale Welt - sie ist aus einer lausigen Mischung zweier Gleichungen abgeleitet:

• die Luftfahrtgleichung für Horizontalflug:$mg = {\rho v^2 S C_l \over 2}$(Gewicht = Auftrieb;$W=L$); Annahmen: flache Erde, konstante Schwerkraft

• die Kreisbahngleichung:$v^2 = {GM\over r}$oder 'ungekürzt'${G M_e m \over r^2 } = {m v^2 \over r}$(Zentripetalbeschleunigung = Erdbeschleunigung,$W=ma$); Annahmen: Vakuum. (Auch,$r = R+h$)

Der Hybrid erweitert die Gleichung für den Horizontalflug um den Abfall der Schwerkraft mit der Höhe, berücksichtigt jedoch nicht, dass die Erde rund ist, eine Vereinfachung, die man sich in der Orbitalmechanik nicht leisten kann.

Ihre Version erweitert die Orbitalgleichung korrekt, indem sie ihr eine aerodynamische Komponente gibt:$W-L=ma$, Wo

• Aufzug$L = {\rho v^2 S C_l \over 2}$; (mit$\rho$eine Funktion der Höhe sein; proportional zum Druck angenähert als$P_0 e^{- {h \over H}}$)

• Gewicht$W = {G M_e m \over (R+h)^2 }$

• Zentripetalbeschleunigung$a = {m v^2 \over R+h}$

Nun, warum Ihre Gleichung nicht hilft:

Wenn wir den Standardlift nehmen, wird er niemals verschwinden; Seine Dichtekomponente fällt exponentiell mit der Höhe ab, und da die Umlaufgeschwindigkeit auch mit der Höhe abnimmt, wird die Geschwindigkeitskomponente mit ihr abfallen, also ist sie riesig$x e^x$Drop-off-Rate, aber niemals null. Dies macht es unmöglich, die Höhe zu finden, in der das Flugzeug "keinen Auftrieb erzeugt". Wenn Sie die Sonnenkollektoren der ISS nach rechts winkeln, werden sie immer noch einige Millinewton Auftrieb erzeugen.

Aber was wir tun können, ist, einen negativen Auftriebskoeffizienten zu nehmen, zu versuchen zu verhindern , dass das Raumflugzeug in eine höhere Umlaufbahn geschleudert wird, und eine Höhe zu finden, in der wir das nicht schaffen. Fliegen Sie das Flugzeug "mit dem Bauch nach oben" und sehen Sie, wie hoch es mit einer Geschwindigkeit fliegen kann, die die Umlaufgeschwindigkeit für eine bestimmte Höhe leicht übersteigt, bevor es in eine elliptische Umlaufbahn geschleudert wird, da sein schwindender Auftrieb dies nicht verhindert.

Wechseln wir also das Vorzeichen:$W+L=ma$

Die Geschwindigkeit ist etwas größer als nötig. Nicht unendlich klein, aber in der Größenordnung von nur ein paar m/s.

$v_k^2 = {GM_e \over r}+\epsilon$

Die Gleichung nimmt folgende Form an:

${G M_e m \over r^2 }+{\rho v_k^2 S C_l \over 2}= {m v_k^2 \over r}$

Lassen Sie uns die ersetzen$v_k^2$

${G M_e m \over r^2 }= ({m \over r} - {\rho S C_l \over 2} )v_k^2$

${G M_e m \over r }= ({m } - {\rho r S C_l \over 2} )v_k^2$

${G M_e m \over r }= ({m } - {\rho r S C_l \over 2} )( {GM_e \over r}+\epsilon)$

Vereinfachen Sie es ein wenig, lösen Sie nach r auf

$m = (m - {\rho r S C_l \over 2} )( 1+{ \epsilon r \over GM_e})$

$0 = - {\rho r S C_l \over 2} - {\rho \epsilon r^2 S C_l \over 2GM_e} + { m \epsilon r \over GM_e}$

$0 = - {GM_e \rho r S C_l } - {\rho \epsilon r^2 S C_l } + { 2m \epsilon r}$

$0 = (2m \epsilon - {GM_e \rho S C_l })r - {\rho \epsilon r^2 S C_l }$

$r = {2m \epsilon - {GM_e \rho S C_l } \over {\rho \epsilon S C_l } }$

und in aerodynamische und Gravitationsteile umordnen.

$r = {2m \over \rho S C_l} - {GM_e \over \epsilon }$

Und so wäre die zu lösende Gleichung

$R+h = {2m \over \rho(h) S C_l} - {GM_e \over \epsilon }$

Normalerweise ist die$GM_e \over \epsilon$Teil sollte sehr groß sein - dafür aber schon recht klein$\epsilon$,$\rho(h)$eine exponentielle Abnahme sollte ein Wachstum des aerodynamischen Teils erzeugen, das schnell genug ist, um eine gute Lösung zu ergeben.