Ist dies ein gültiger Beweis für das Prinzip von Archimedes?

In Wikipedia wird das Prinzip des Archimedes so formuliert:

„ Die nach oben gerichtete Auftriebskraft, die auf einen Körper ausgeübt wird, der in eine Flüssigkeit eingetaucht ist, ganz oder teilweise eingetaucht, ist gleich dem Gewicht der Flüssigkeit, die der Körper verdrängt “

In einem Abschnitt unseres Physik-Lehrbuchs zeigten sie den Beweis des archimedischen Prinzips wie folgt:

Nehmen wir an, ein Zylinder ist vollständig in etwas Flüssigkeit getaucht. Sagen wir die Höhe, wenn der Zylinder ist H und die Querschnittsfläche des Zylinders ist A .Stellen wir uns vor, dass der Zylinder so in die Flüssigkeit eingetaucht ist, dass die Tiefe der oberen Fläche ist H 1 und die Tiefe der unteren Oberfläche ist H 2 .

Wir haben Ihnen schon oft gesagt, dass der Druck in Flüssigkeiten / Gasen nicht in eine bestimmte Richtung wirkt. Der Druck wirkt in alle Richtungen.

Der auf die Zylinderoberseite wirkende Abwärtsdruck ist also

P 1 = H 1 ρ G

Und der auf die Zylinderunterseite wirkende Aufwärtsdruck ist

P 2 = H 2 ρ G

Die auf die Zylinderoberseite wirkende Abwärtskraft und die auf die Zylinderunterseite wirkende Aufwärtskraft sind also:

F 1 = A P 1 = A H 1 ρ G
F 2 = A P 2 = A H 2 ρ G

Wir müssen nicht über die Kraft nachdenken, die um den Zylinder herum wirkt. Denn wenn eine Kraft auf eine Seite des Zylinders wirkt, dann hebt eine andere entgegengesetzte Kraft die ursprüngliche Kraft auf H 2 ist größer als H 1 , F 2 muss größer sein als F 1 .Die Nettokraft wird also nach oben zeigen und ihre Größe wird sein,

F = F 2 − F 1 = A ( H 2 − H 1 ) ρ G = A H ρ G

An dieser Stelle ist der Beweis erbracht.

An manchen Stellen habe ich selbst etwas gezweifelt. Zum Beispiel sagen sie zuerst, dass Druck keine Richtung hat. Aber dann fangen sie an, Dinge wie "Aufwärts- und Abwärtsdruck" im Beweis zu sagen. Auch, warum das die Gleichung verwendet P = H ρ G um den Aufwärtsdruck zu berechnen, den die Flüssigkeit auf die Bodenfläche des Zylinders ausübt? ...usw.

An dieser Stelle habe ich zwei Fragen,

  1. Ist dieser Nachweis gültig?

  2. Wie kann ich einen Beweis mit einem beliebigen allgemeinen Körper schreiben? (nicht nur Zylinder)

Bearbeiten: Im Moment bedeutet das Wort "eingetaucht" "vollständig von einer Flüssigkeit umgeben". Es ist wahr, dass es Phänomene wie „schwimmende Boote“ aus dem Geltungsbereich verschwinden lässt, aber ich habe dies getan, um zu viel Komplexität zu reduzieren.

Antworten (2)

  1. Ist dieser Nachweis gültig?

Ja, dieser Nachweis für den zylindrischen Körper ist gültig.

Aber der Autor sollte besser "Aufwärts- und Abwärtsdruckkraft " sagen , anstatt "Aufwärts- und Abwärtsdruck", weil Druck keine Richtung hat (wie Sie richtig darauf hingewiesen haben).

  1. Wie kann ich einen Beweis mit einem beliebigen allgemeinen Körper schreiben? (nicht nur Zylinder)

Das archimedische Prinzip für einen beliebig geformten Körper lässt sich am einfachsten mit dem Gradientensatz von Gauß beweisen . Dieser Satz bezieht sich auf ein Integral über eine geschlossene Fläche ∂ v zu einem Integral über das eingeschlossene Volumen v .

(1) ∮ ∂ v P ( R → )   D A → = ∫ v ∇ → P ( R → )   D v
Wo P ( R → ) jede positionsabhängige Funktion ist, und ∇ → ist der Gradientenoperator .

Als ortsabhängige Funktion wählen wir nun den Druck

(2) P ( R → ) = P 0 − ρ G z
Wo z ist die vertikale Positionskoordinate und P 0 ist der Druck bei Null ( z = 0 ). Wir brauchen hier ein Minuszeichen, weil der Druck beim Heruntergehen in der Flüssigkeit zunimmt (also ins Negative z -Richtung).

Dann ist der Gradient von (2).

(3) ∇ → P ( R → ) = − ρ G z ^
Wo z ^ ist der Einheitsvektor in z -Richtung (dh nach oben).

Durch Einsetzen von (3) in (1) erhalten wir

∮ ∂ v P ( R → ) D A → = ∫ v ( − ρ G z ^ )   D v .

Jetzt auf der linken Seite P   D A → offensichtlich ist die auf das Flächenelement wirkende Druckkraft D A → (bis auf ein Minuszeichen, weil das Kraftelement D F → zeigt innerhalb des Körpers, während das Flächenelement D A → Punkte außen). Und auf der rechten Seite die Konstanten ( − ρ G z ^ ) kann ausgeklammert werden. Also bekommen wir

− ∮ ∂ v D F → = − ρ G z ^ ∫ v D v
oder endlich
F → = ρ G z ^ v .
Dies ist nur das Prinzip von Archimedes (Auftriebskraft zeigt nach oben und ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit).

Der Nachweis gilt für einen Zylinder. Sie haben jedoch recht, dass es falsch ist, von „Aufwärtsdruck“ und „Abwärtsdruck“ zu sprechen. Es ist natürlich in Ordnung, über die Aufwärts- und Abwärtskraft aufgrund des Flüssigkeitsdrucks zu sprechen.

Es gibt zwei wohlbekannte Wege, das A-Prinzip für eine allgemeine Form eines Festkörpers abzuleiten. Die erste ist eine Verallgemeinerung der Methode, die Sie für einen Zylinder zitiert haben: Wir betrachten die Summe (oder das Integral) der vertikalen Komponenten der Kräfte aufgrund des hydrostatischen Drucks auf die unterschiedlich abgewinkelten Elemente der Oberfläche des Festkörpers. Die zweite Methode ist diese ...

Betrachten Sie den Klumpen C der Flüssigkeit, der früher den Raum einnahm, der jetzt vom Festkörper eingenommen wird. C wird im Gleichgewicht gewesen sein (wenn die Flüssigkeit stationär ist), also muss die Nettokraft der umgebenden Flüssigkeit auf C gleich und entgegengesetzt zum Gewicht von C sein. Jetzt wird C durch den Festkörper mit genau derselben Oberflächenform ersetzt als C ist der resultierende hydrostatische Auftrieb derselbe. Daher das Archimedische Prinzip.

In einer Abhandlung fand ich diese interessante Textzeile: „Archimedes entwickelte strenge mathematische Beweise für die meisten seiner Ideen. Allerdings ist die Ableitung der exakten Kraft, die von einer inhomogenen Flüssigkeit auf einen darin eingetauchten willkürlich geformten Körper ausgeübt wird, so wie es sein wird hier gezeigt, erfordert die Kenntnis des Divergenzsatzes , ein mathematisches Werkzeug, das für die Alten unerreichbar war. Daher wurde die Gültigkeit der Archimedes-Aussagen für diesen allgemeineren Fall in seiner ursprünglichen Arbeit nicht formell bewiesen.
Das klingt wahr. Ich habe natürlich keine inhomogene Flüssigkeit in Betracht gezogen, obwohl ich im Moment nicht einsehen kann, warum die Methode, die ich in meinem letzten Absatz vorgeschlagen habe, nicht immer noch gelten würde.
Ich denke also, es bedeutet, AP für homogene (inkompressible) Flüssigkeit zu beweisen = einfach genug. AP für inhomogene Flüssigkeit beweisen = schwer ?
Ist dies ein gültiger Beweis für das Prinzip von Archimedes?
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