Ist eine Turing-Maschine auf einem beliebigen (endlichen) Alphabet äquivalent zu einer auf {0, 1}?

Kurzer Kontext:

Ich versuche zu verstehen, warum es eine universelle Turing-Maschine gibt, auf einem Band mit Alphabet$\{0, 1\}$. Ich glaube, ich kann sehen, dass a$3$-tape Turing-Maschine kann eine universelle Turing-Maschine darstellen, die Klebeband verwendet$1$für die Eingabe, die der zu simulierenden Turing-Maschine entspricht, Band$2$entsprechend einem Puffer, der den aktuellen Zustand enthält, und Band$3$die eigentliche Berechnung der Eingabe ist.

Dies reduziert sich also auf das Verständnis, warum jede Funktion, die von einer Turing-Maschine mit mehreren Bändern berechenbar ist, auch von einer Turing-Maschine mit einem Band berechenbar ist.

Jetzt, indem ich meinem Alphabet zusätzliche mögliche Symbole hinzufüge, kann ich sehen, wie ich eine Multi-Tape-Turing-Maschine mit einer Single-Tape-Turing-Maschine mit einem größeren Alphabet simulieren könnte (etwas wie: Fügen Sie ein Trennzeichen '#' hinzu, um die Bänder und Symbole$\dot{0}, \dot{1}, \dot{B}$um die aktuelle Position auf jedem Band darzustellen). Mir ist jedoch nicht klar, wie es möglich wäre, dies auf einem Band zu tun, auf dem uns nur das Alphabet erlaubt ist$\{0, 1\}$.

Meine Frage ist:

Gegeben sei eine Turing-Maschine$T$auf einem (endlichen) Alphabet$\Sigma \supseteq \{0, 1\}$die eine partielle Funktion berechnet$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$(unter Verwendung der binären Darstellung), gibt es eine Turing-Maschine?$T'$nur auf dem Alphabet$\{0, 1\}$das die gleiche partielle Funktion berechnet?

(Dies beantwortet dann den letzten Teil meines obigen Gedankengangs.)