Was versucht der Autor hier zu erklären?

Davon gehe ich durchweg aus$\mathsf{PA}$ist konsistent.

zu (1):

"Selbsthaltetheorie" ist nur ein bisschen bunte Sprache. „Selbstzweifel “ wäre meiner Meinung nach angemessener (oder ist „Halten“ vielleicht ein Tippfehler für „Hassen“?). Unabhängig davon lohnt es sich nicht, sich darauf zu konzentrieren.

Die eigentliche Frage ist warum$\mathsf{PA+\neg Con(PA)}$ist konsistent. Dies ist eine schöne Folge des zweiten Unvollständigkeitssatzes:

• Wenn$\mathsf{PA+\neg Con(PA)}\vdash\perp$, würde uns der Abzugssatz geben$\mathsf{PA}\vdash \neg \mathsf{Con(PA)}\rightarrow\perp$, oder gleichwertig

  $$\mathsf{PA}\vdash\neg (\neg \mathsf{Con(PA))}.$$

• Aber das ist nur eine lustige Art zu sagen "$\mathsf{PA}\vdash \mathsf{Con(PA)}$." Und wir wissen , dass das nicht passieren kann, bei Gödel, es sei denn$\mathsf{PA}$ist inkonsistent.

Anders ausgedrückt, "$T$beweist nicht$A$" ist immer gleichbedeutend mit "$T+\neg A$ist konsistent." Hier verwenden wir$T=\mathsf{PA}$Und$A=\mathsf{Con(PA)}$.

Zu (2):

Der Punkt ist, dass der Vollständigkeitssatz (kein Tippfehler - ganz anders als der Unvollständigkeitssatz, die Terminologieüberschneidung ist ziemlich unglücklich) besagt, dass jede konsistente Theorie ein Modell hat. Insbesondere gemäß dem Abschnitt über der Theorie$\mathsf{PA+\neg Con(PA)}$Muss ein Modell haben,$M$.

Das erscheint auf den ersten Blick seltsam:$M$muss denken, dass ein Teil seines eigenen Verhaltens widersprüchlich ist! Ich persönlich denke, dass es sich lohnt, dies zu untersuchen ("Warum sollte ich darum bitten , den Beweis für die Inkonsistenz von PA zu sehen?"), und der entsprechende Teil des Arguments versucht einfach, es zu entmystifizieren.

Die Pointe ist natürlich die$\neg\mathsf{Con(PA)}$ist eine existenzielle Aussage, und die Dinge in$M$welche ($M$denkt) Zeuge der Wahrheit dieser Aussage sind eigentlich keine normalen natürlichen Zahlen (also nicht im Bereich der eindeutigen Einbettung).$\mathbb{N}\rightarrow M$). Es gibt also keinen Widerspruch zwischen$M$denken, dass es eine Zahl gibt, die einen Widerspruch kodiert$\mathsf{PA}$, und eine solche Zahl gibt es in Wirklichkeit nicht.

1. "Selbsthass"-Theorie ist nur der skurrile Ausdruck des Autors für eine Theorie wie$\mathrm{PA} + \lnot(\mathrm{Con}(\mathrm{PA}))$die die Widersprüchlichkeit einer ihrer Teiltheorien behauptet. Wenn$\mathrm{PA} + \lnot\mathrm{Con}(\mathrm{PA})$widersprüchlich wären, könnten wir daraus einen Widerspruch ableiten$\mathrm{PA} + \lnot\mathrm{Con}(\mathrm{PA})$, was das bedeuten würde$\mathrm{PA}$hätte beweisen können$\mathrm{Con}(\mathrm{PA})$, was dem zweiten Unvollständigkeitssatz widerspricht. (Davon gehe ich durchgehend aus$\mathrm{PA}$ist eigentlich konsistent.)
2. Der zweite Punkt ist, dass wir das jetzt wissen$\mathrm{PA} + \lnot\mathrm{Con}(\mathrm{PA})$konsistent ist, sagt uns der Vollständigkeitssatz, dass es ein Modell haben muss. Da stellt sich natürlich die Frage, wie dieses Modell aussehen könnte. Es ist nicht schwer zu erkennen, dass jedes Modell einer Theorie erweitert wird$\mathrm{PA}$enthält eine Kopie der natürlichen Zahlen mit den üblichen arithmetischen Operationen - nennen wir die Zahlen in dieser Kopie die normalen natürlichen Zahlen. Aber was$\lnot\mathrm{Con}(\mathrm{PA})$eigentlich sagt ist, dass es eine Zahl gibt$X$das einen Beweis von kodiert$0 \neq 0$. Diese Zahl kann keine normale natürliche Zahl sein, da sie sonst einen Beweis kodieren würde$\mathrm{PA}$von$0 \neq 0$. Also schließen wir und arbeiten uns zurück durch die Definition von$\mathrm{Con}$, dass das Modell eine Vielzahl von nicht standardmäßigen natürlichen Zahlen enthält, die sich verschwören, um die Illusion zu erwecken$0\neq 0$hat einen Beweis.