Eine Frage zum Satz von Tennebaum?

Der Satz von Tennenbaum beweist, dass es keine abzählbaren rekursiven Nichtstandardmodelle der Peano-Arithmetik gibt . Es ist ein Widerspruchsbeweis. Wenn unser abzählbares Nichtstandardmodell rekursiv ist, dann gilt bei einem Paar rekursiv untrennbarer Mengen: A , B , können wir eine Trennmenge konstruieren, C , so dass A ⊂ C Und C ∩ B = ∅ . Dies würde bedeuten A Und B sind im Widerspruch zu unseren Annahmen rekursiv trennbar.

Das Trennset, C , kann eine nicht standardmäßige endliche Menge sein. Zum Beispiel, C könnten die Exponenten der binären Erweiterung einer nicht standardmäßigen natürlichen Zahl sein. Da wir davon ausgehen, dass das Nicht-Standard-Modell abzählbar ist, gibt es nur eine abzählbare Anzahl von (im Modell) definierbaren endlichen Nicht-Standard-Mengen.

Wir haben keine Annahmen über die rekursiv untrennbaren Mengen gemacht, also kann ich jedes solche Paar auswählen. Wenn es eine unabzählbare Anzahl von Paaren rekursiv untrennbarer Mengen gibt, wie kann ein abzählbares Nichtstandardmodell nur eine abzählbare Anzahl von trennenden Mengen haben? Wenn der Trennsatz, C , im Nichtstandardmodell nicht definierbar ist, wie leitet Tennenbaum dann einen Widerspruch ab?

Eine andere Möglichkeit, meine Frage zu formulieren, lautet: Gibt es Mengen von natürlichen Standardzahlen, so dass diese Mengen keine Teilmenge einer definierbaren Nicht-Standard-Menge in einem zählbaren Nicht-Standard-Modell von PA sind?

Ich habe Ihnen zuvor von Demut in Ihren Titeln erzählt. Sie sollten immer mit der Arbeitsannahme beginnen, dass an dem etablierten Wissen nichts falsch ist und dass Sie sich irren. Wenn Sie es wagen zu behaupten, dass ein Fehler vorliegt, sollten Sie dies nicht als Frage stellen. Sie sollten es als Beweis aufstellen, und selbst dann, wenn Sie möchten, dass es von Mathematikern ernst genommen wird, ist es besser, die Möglichkeit eines Fehlers vorzuschlagen, und es nicht als kühne Behauptung aufzustellen, wie Sie es hier posten.
Und wie die vorherigen Fragen, die Sie gepostet haben, gezeigt haben, ist es der übliche Fall, dass Sie sehr heikle Punkte nicht verstanden haben (die schwer zu verstehen sind, das stimmt). Also bitte. Jedes Mal, wenn Sie Ihrer Frage solch alberne Titel geben, untergraben Sie die Geduld, die die Leute für Sie haben, ein wenig mehr. Und das ist schade, denn ich bewundere wirklich, dass Sie versuchen, die Widersprüchlichkeit der Arithmetik zu beweisen, indem Sie sich an die Regeln halten und nicht behaupten, dass dies aus welchen Gründen auch immer der Fall sein muss.

Antworten (1)

Zu der Frage am Ende Ihres Beitrags, nein. Solche Sätze gibt es nicht. Jede Menge von Standard-Ganzzahlen ist eine Teilmenge von { X ∣ X = X } von jedem Modell von P A .

Danke. Das hätte ich sehen sollen. Es kommt auf die Trennbarkeit an. Gibt es immer einen nicht genormten Trennsatz?
Ich nehme an, Sie meinen rekursive Menge? Ich weiß nicht. Beachten Sie in jedem Fall, dass if C trennt A Und B dann trennt es jede Teilmenge von A aus jeder Teilmenge von B . Jede trennende Menge trennt also für sich allein unabzählbar viele Mengenpaare.
Alle endlichen Mengen sind im Modell rekursiv. Die trennende Menge kann immer auf eine nicht standardmäßige endliche Menge reduziert werden. Ich denke, wir können zeigen, dass es eine unzählbare Anzahl von trennenden Mengen geben muss. Es gibt unzählige nichtrekursive Standardmengen, die keine Teilmengen von sind A .
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