Gibt es ein Nichtstandardmodell der Peanoschen Arithmetik, bei dem jedes Element nur endlich viele Primteiler hat?

Nach dem Kompaktheitssatz gibt es nicht standardmäßige Modelle, bei denen keine endliche Primzahlzerlegung vorliegt und einige Elemente durch unendlich viele verschiedene Primzahlen teilbar sind. Aber was ist, wenn wir ein nettes Nichtstandardmodell wollen, bei dem jedes Element nur durch endlich verschiedene Primzahlen teilbar ist, ist das möglich? Es scheint schwierig zu sein, eine zu konstruieren, wenn es möglich ist. Ich weiß nicht, wie ich Modelle von Peanos Arithmetik konstruieren soll, bei denen ich nicht möchte, dass etwas passiert.

Natürlich können wir keine endliche Primzahlzerlegung verlangen, da es in jedem Nichtstandardmodell Nichtstandardelemente gibt, deren einziger Primteiler ist 2 , und sind daher durch teilbar 2 N für alle N ∈ N .

Wenn ein solches Modell existiert, können wir eines mit unendlicher Kardinalität haben?

Hätte die Fakultät einer Nicht-Standard-Ganzzahl diese Eigenschaft, da sie durch alle Standard-Primzahlen teilbar wäre?
@BerenGunsolus Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Fakultät in Peanos Arithmetik definieren soll.

Antworten (2)

Es gibt kein solches Modell. Das Folgende ist ein Satz der Peano-Arithmetik:

Für jede Zahl N , es gibt eine Nummer N ' das ist durch alle teilbar k < N .

Betrachten Sie ein Nicht-Standard-Modell ⟨ M , + , ⋅ , 0 , S ⟩ der Peano-Arithmetik. Seit M nicht standardmäßig ist, hat es einige nicht standardmäßige Elemente K so dass 0 < K , 1 < K , 2 < K , … und so weiter, für jeden Standard natürlich.

Nach dem oben zitierten Satz der Peano-Arithmetik gibt es eine andere Zahl K ' das ist durch alle teilbar k < K . Insbesondere, K ' ist teilbar durch 2 , teilbar durch 3 , teilbar durch 5 , und so weiter für alle Standard-Primzahlen.

+1. Für das OP ist im Allgemeinen alles wie die von Ihnen beschriebene Situation durch Überlaufen ausgeschlossen. Betrachten Sie in einem Modell M von P A , die Menge der Zahlen von Primfaktoren, die Elemente haben können. Dies ist im Standardteil unbegrenzt M , und so durch Überlauf muss nicht standardmäßige Elemente enthalten. Natürlich können wir in diesem speziellen Fall noch viel mehr sagen, aber Overspill ist immer noch wissenswert.

Die Frage ist interessant und ich möchte der technisch einwandfreien Antwort von ZAK einige nichttechnische Kommentare hinzufügen

Modelle von PA zu konstruieren, bei denen etwas nicht passiert, ist ein notorisch schwieriges Problem, insbesondere wenn dieses Etwas in Logik erster Ordnung ausdrückbar ist.

Eines der wenigen bekannten Ergebnisse dieser Art ist das berühmte Paris-Harrington-Theorem , das ein Modell der PA konstruiert, bei dem eine (wahre) Variante des Ramsey-Theorems nicht gilt.

Vor einiger Zeit hoffte man, dass schwächere Versionen von PA (dh Fragmente, bei denen die Induktion nur für Formeln geringer Komplexität gilt) die Aufgabe der Konstruktion von Modellen praktikabler machen könnten.

ZB wurde viel Mühe auf die Frage verwendet, ob ICH Δ 0 (das Fragment von PA, wo die Induktion nur für beschränkte Formeln gilt) beweist die Unendlichkeit von Primzahlen. Aber das Problem galt als unlösbar und wurde vor etwa 40 Jahren aufgegeben. (Das Problem hängt mit einigen hoffnungslosen offenen Problemen in der Komplexitätstheorie zusammen.)

Können Sie die letzte Klammer näher erläutern?
@cody Ich kann nicht viel mehr hinzufügen. Der Δ 0 Hirarchie ist natürlich/normalerweise/intuitiv mit der linearen Zeithierarchie verbunden (lesen Sie einfach Zahlen als ihre binäre Erweiterung). Sicherlich hat sich schon mal jemand formell mit dieser Assoziation auseinandergesetzt. Wenn du eine Referenz brauchst, kann ich nachsehen.
Ich brauche keine Referenz, ich bin nur neugierig. In der Tat wäre eine Referenz, in der sie sogar erwähnen, dass dies ein offenes Problem ist, interessant!
@cody Ich vermute, dass es im frühen Teil des (ausgezeichneten!) Buches Metamathematics of first-order arithmetic erwähnt wird, obwohl ich im Moment keine Zeit habe, es zu überprüfen.
Gibt es ein Nichtstandardmodell der Peanoschen Arithmetik, bei dem jedes Element nur endlich viele Primteiler hat?
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