Es ist bekannt, dass es nicht standardmäßige Modelle der Peano-Arithmetik gibt, wenn sie unter Verwendung der Logik erster Ordnung beschrieben wird. Meine Frage ist, ob es ein Standardmodell (eines, das keine nicht standardmäßigen Elemente enthält) von PA gibt, das in FOL beschrieben wird. Was ist ein Beispiel für ein solches kanonisches Modell?
Es ist nicht klar, was "in FOL beschrieben" bedeutet.
Die Theorie erster Ordnung der Peano-Arithmetik hat sicherlich ein Standardmodell, das aus den normalen natürlichen Zahlen mit ihren üblichen arithmetischen Operationen besteht. Peano Arithmetic hat auch viele Nicht-Standard-Modelle.
Was in der Logik erster Ordnung nicht möglich ist, ist eine Theorie aufzustellen so dass das einzige Modell von ist das Standardmodell der Arithmetik. Mit Arithmetik an sich hat das nichts zu tun; Eine Theorie erster Ordnung, die ein unendliches Modell hat, hat unendlich viele andere unendliche Modelle, unabhängig vom Gegenstand der Theorie erster Ordnung.
Nach Gödels Unvollständigkeitssätzen muss jede Konstruktion eines Modells für PA über PA hinausgehen. Mit ein bisschen Mengenlehre (ein kleines Fragment von ZF) kann man das zeigen (die erste transfinite von Neumann-Ordnung) bildet zusammen mit geeigneten definierbaren arithmetischen Operationen ein Modell von PA und hat keine Nicht-Standard-Elemente.
Trismegistos
Karl Mummert