Sind die natürlichen Standardzahlen ein herausragendes Modell der PA?

Ist das Modell N der standardmäßigen natürlichen Zahlen in irgendeiner Weise herausragend aus allen möglichen (Nicht-Standard-)Modellen von PA? Darf es zum Beispiel sein N ist eine Art minimales Modell, dh es ist in irgendeinem sinnvollen Sinne in jedem anderen Modell enthalten?

Ich bin mit der Terminologie hier nicht sehr vertraut. Ich habe von elementaren Teilmodellen, Primzahlmodellen, atomaren Modellen, ... gehört. Ich habe gehört, dass jede Interpretation von ZFC ihre eindeutigen natürlichen Zahlen hat , daher scheint es eine Möglichkeit zu geben, sie zu unterscheiden N da drin. Die Antworten hier scheinen zu implizieren, dass es eine Einbettung von gibt N in jedes Nicht-Standard-Modell.

Ja, es ist minimal in dem Sinne, dass es in jedem Modell enthalten ist. In jedem Modell ist es die Teilmenge, die durch wiederholtes Anwenden von Nachfolger auf Null erhalten wird.
@QiaochuYuan Ok, ja, es ist bereits eine Teilmenge eines anderen Modells nach Kardinalität. Ich denke, Ihre Konstruktion der Einbettung ist auch irgendwie strukturerhaltend. Gibt es dafür Fachbegriffe? Auch ist dies eine einzigartige Sache für N ? Es gibt andere zählbare Modelle.
Ich könnte dir bei dieser Frage wahrscheinlich nicht helfen, aber es wäre nett, wenn du die Buchstabensuppe erklären würdest. Was ist PA? Was ist ZFC? Zonenfreie Klassifizierung?
@Lisa ZFC ist die mengentheoretische Standardgrundlage für Mathematik. PA ist Peano-Arithmetik. Wenn Sie eine Frage mit dem Logik-Tag schreiben, ist es völlig vernünftig anzunehmen, dass alle Leser mit diesen Akronymen vertraut sind.
@Alex Oh ja, das Zermelo Frankel C-irgendwas. Zu dieser Frage bin ich jedoch durch das Tag der elementaren Zahlentheorie gekommen.
@Lisa Es tut mir leid, wenn dieses Tag Sie in die Irre geführt hat! Ich habe wahrscheinlich ein Alias-Tag gewählt und nicht speziell die elementare Zahlentheorie.

Antworten (1)

Erweiterung von Qiaochus Kommentar, das Standardmodell N ist das (bis auf Isomorphie) eindeutige Minimalmodell von PA im Sinne von Einbettungen. Es gilt nämlich Folgendes:

  • N bettet sich einzigartig in jedes PA-Modell ein. Außerdem, wenn M ist elementar äquivalent zu N , dann die Einbettung von N hinein M ist elementar.

  • Wenn M ist ein Modell von PA, das nicht isomorph zu ist N , Dann M bettet sich nicht ein N .

Jede dieser Tatsachen ist eine einfache Übung in der Modelltheorie – der entscheidende Punkt ist das N ist unter den PA-Modellen (bis auf Isomorphie) einzigartig durch das Induktionsprinzip zweiter Ordnung gekennzeichnet. Neben einer weiteren Charakterisierung von N (anders formuliert: N das einzige wohlgeordnete Modell von PA ist), lässt uns die Induktion zweiter Ordnung induktiv argumentieren, wenn wir beliebige Modelle von PA mit vergleichen N . Zum Beispiel, wenn M ist ein Modell von PA, wir bauen eine Einbettung F M : N → M per Induktion als:

  • F M ( 0 ) = 0 M , Und

  • definiert haben F M ( N ) , wir lassen F M ( N + 1 ) = F M ( N ) + M 1 M .

Durch das Induktionsprinzip zweiter Ordnung z N , dies definiert tatsächlich eine Karte aus N Zu M , und es ist nicht schwer zu zeigen, dass diese Karte eine Einbettung ist.

Beachten Sie übrigens, dass PA hier übertrieben ist: Wir können es durch die Theorie der natürlichen Zahlen mit Nachfolger ersetzen. Diese Theorie ist im Gegensatz zu PA vollständig und entscheidbar!

Eine weitere sehr unterschiedliche Charakterisierung von N ist über Berechenbarkeit: Das Standardmodell von PA ist das einzige zählbare Modell von PA mit einer berechenbaren Darstellung nach dem Satz von Tennenbaum . Dies ist ein komplizierteres Ergebnis. Während PA immer noch übertrieben ist, gibt es insbesondere Theorien der Arithmetik, die viel stärker sind als Arithmetik mit Nachfolger, die zu schwach sind , als dass das Tennenbaum-Phänomen für sie gelten könnte.

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