Wie viel Arithmetik finden wir definierbar in den Surrealen?

Der Einfachheit halber schnell und locker mit Größenproblemen spielen, lassen Sie es$\mathfrak{S}$sei die Struktur der surrealen Zahlen, ausgestattet mit Addition, Multiplikation und der Einfachheitsordnung. Ich bin gespannt, wie viel“$\mathbb{N}$-wie Arithmetik" können wir (erster Ordnung, parameterfrei-)${}$definierbar innerhalb lokalisieren$\mathfrak{S}$. Beachten Sie, dass die resultierende Struktur ohne die Einfachheitsordnung modelltheoretisch zu zahm wäre, um irgendetwas Interessantes aus dieser Perspektive zu interpretieren.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu fragen. Die ehrgeizigste natürliche Frage hier ist meiner Meinung nach, ob es einen definierbaren Unterring von gibt$\mathfrak{S}$befriedigend$\mathsf{PA}$. Auf den ersten Blick scheint der Unterring Oz der omnifikativen ganzen Zahlen ein plausibler Kandidat zu sein, aber tatsächlich ist Oz nicht einmal ein Modell der sehr schwachen Subtheorie$\mathsf{I}\Sigma_1$von$\mathsf{PA}$; siehe hier .

Auf dieser Grundlage scheint es eine gute Idee zu sein, zuerst eine schwächere Theorie der Arithmetik zu betrachten:

• Q1 : Gibt es einen definierbaren Teilring von$\mathfrak{S}$befriedigend$\mathsf{I\Sigma_1}$?

• Q2 Wenn nicht, tut es das$Th(\mathfrak{S})$zumindest interpretieren $\mathsf{I\Sigma_1}$?