Gibt es ein natürliches Modell der Peano-Arithmetik, bei dem der Satz von Goodstein versagt?

Goodsteins Theorem ist die Aussage, dass jede Goodstein-Folge schließlich 0 erreicht. Es ist bekannt, dass es unabhängig von der Peano-Arithmetik (PA) ist, und war tatsächlich das erste derartige rein zahlentheoretische Ergebnis. Es ist in ZFC beweisbar.

Eine Möglichkeit, dies auszudrücken, ist, dass die Theorie "PA + Goodsteins Theorem ist falsch" konsistent ist (vorausgesetzt, PA ist falsch).

Nach dem Vollständigkeitssatz von Gödel muss es ein PA-Modell geben, in dem der Satz von Goodstein versagt. Tatsächlich können wir bei Anwendung des abwärtsgerichteten Lowenheim-Skolem-Theorems annehmen, dass dieses Modell abzählbar ist.

Im Interesse, über dieses Ergebnis vor einer Gruppe von Doktoranden (mit unterschiedlichen Interessen) zu sprechen, möchte ich dies jedoch gerne rückwärts laufen lassen. So,

Gibt es ein bekanntes, offensichtliches oder einfach zu konstruierendes zählbares Nichtstandardmodell von$PA$in denen der Satz von Goodstein versagt?

Bei der Beantwortung dieser Frage bin ich bereit, die "grundlegenden" Logiksätze erster Ordnung zu akzeptieren: Gödels Vollständigkeits- und Kompaktheitsergebnisse, der Lowenheim-Skolem-Satz.

Hier ist die Art von Antwort, die ich wirklich gerne hätte: Es gibt eine explizite zählbare Sammlung$\Sigma = \{\phi_n\}$von Sätzen erster Ordnung (möglicherweise in einer etwas größeren Sprache) so dass$\mathbb{N}$ist ein Modell von$PA + \Sigma_0$für jede Endlichkeit$\Sigma_0\subseteq \Sigma$, und so das$PA + \Sigma$impliziert, dass der Satz von Goodstein falsch ist.

Ein Ansatz, an den ich gedacht habe, besteht darin, zuerst die Sprache zu erweitern, indem ein konstantes Symbol c hinzugefügt wird. Als nächstes lassen$\phi_n$sei die Aussage „Die Goodstein-Folge für$c$dauert länger als "n" Schritte, um zu beenden". (Obwohl ich persönlich nicht weiß, wie man "die Goodstein-Sequenz für$c$" in der Sprache erster Ordnung bin ich zuversichtlich, dass dies möglich ist, denn sonst könnte man nicht einmal formulieren "PA beweist, dass die Goodstein-Folge konvergiert".)

In diesem Fall,$\mathbb{N}$ist ein Modell von jedem$PA + \Sigma_0$durch einfaches Setzen von c = n+1, wobei n der größte Index von a ist$\phi_k$In$\Sigma_0$(die existiert, weil$\Sigma_0$ist endlich).

Nach den Sätzen von Gödel und Lowenheim-Skolem gilt:$PA + \Sigma$hat ein abzählbares Modell$M$. Dann die Interpretation von$c$in diesem Modell erfüllt$\phi_n$für alle$n$, und daher endet die Goodstein-Folge nicht für$c$bei diesem Modell.

Da die Unabhängigkeit von Goodsteins Theorem jedoch so schwer zu beweisen war, bin ich mir ziemlich sicher, dass diese Argumentation einen Fehler enthält (obwohl ich nicht weiß, wo). Ich würde mich freuen, wenn jemand dies in etwas Korrektes umwandelt.

Fühlen Sie sich wie immer frei, bei Bedarf neu zu markieren, und danke für die Antworten!