Können zwei verschiedene Modelle der Arithmetik nicht vergleichbare Ansichten der Peano-Arithmetik haben?

Zunächst einmal glaube ich, dass Sie an einem Artikel von Kikuchi und Kurahashi, "Illusory Models of Peano Arithmetic", interessiert wären. Sie untersuchen verwandte Fragen im Detail in diesem Papier. In ihrer Notation nennen sie das, was ihr "V(M)" nennt$\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M)$.

Beachten wir zunächst, dass if$M \models \lnot \mathrm{Con}(\mathsf{PA})$, Dann$\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M)$enthält alle Sätze in der Sprache. Sie beziehen sich auf solche Modelle als "verrückt" und Modelle von$\mathrm{Con}(\mathsf{PA})$als „gesund“. Die eigentliche Frage hier ist also, ob bei vernünftigen Modellen$M$Und$N$, Die Sätze$\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M)$Und$\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(N)$sind notwendigerweise linear geordnet. Die Antwort ist nein; Tatsächlich zeigt das Hauptergebnis diesbezüglich in ihrer Arbeit tatsächlich, dass die Familie$\mathcal{T} = \{ \mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M) : M$ist gesund$\}$Kardinalität hat$2^{\aleph_0}$.

Der wichtigste Knackpunkt hinter diesen Unabhängigkeitsergebnissen ist das$\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M)$wird ganz bestimmt durch die$\Sigma_1$Theorie von$M$. Ferner, gegeben jede rekursiv aufzählbare Theorie$T$, da ist ein$\Sigma_1$Stellungnahme$\phi$so dass$T + \phi$Und$T + \lnot \phi$sind beide konsistent (dies ist ein übliches Argument der Unvollständigkeit, obwohl sie eine stärkere Version verwenden, um das zu bekommen$|\mathcal{T}| = 2^{\aleph_0}$). also lass$T$sei die Theorie$\mathsf{PA} + \mathrm{Con}(\mathsf{PA})$, und dann können Sie zwei PA-Modelle finden, die sich unterscheiden$\Sigma_1$Theorien und haben daher inkompatible "Theoreme von PA".

Ich empfehle dringend, dieses Papier zu lesen, da es viele verwandte Fragen stellt und beantwortet, die Sie interessieren könnten.

Beachten Sie zunächst, dass wenn$\phi \equiv \exists x\psi(x)$Ist$\Sigma_1$Und$M$ist ein Modell von$PA$, Dann$M \models \phi$impliziert$\phi \in V(M)$. Dies liegt daran, wenn$M \models \psi(n)$, Dann$M$schreiben kann$n=1+\cdots+1$und dann beweisen$PA \vdash \psi(1+\cdots+1)$.

Angenommen, PA ist konsistent, und lassen Sie$A,B$sei ein rekursiv untrennbares Paar von Disjunkten$\Sigma_1$Teilmengen von$\mathbb{N}$. Bauen Sie diese Disjunktheit explizit in ihre Definitionsformeln ein, damit Sie beweisen können, dass sie disjunkt sind. Wir behaupten das für einige$n$, gibt es ein Paar Modelle$M_1 \models( n \in A)$Und$M_2 \models (n \in B)$. Da sind die Sätze$\Sigma_1$und beweisbar disjunkt, erhalten wir$n\in A$In$V(M_1)$aber nicht$V(M_2)$, und umgekehrt.

Nehmen Sie für einen Widerspruch an, dass dies für alle gilt$n$Es gibt kein solches Paar. Insbesondere gibt es entweder keine Modelle mit$n \in A$, oder es gibt keine mit$n \in B$. Nach dem Vollständigkeitssatz ist die entsprechende Formel ein Satz von PA. Definiere eine rekursive Menge$C$von: Wenn$PA \vdash n \not \in B$, setzen$n$hinein$C$; und wenn$PA \vdash n \not \in A$, setzen$n$in die Ergänzung$\bar C$. Aber dann$C$ist ein rekursives Trennzeichen für$A$Und$B$, im Widerspruch zu der Wahl von$A$Und$B$. Der Beweis ist vorbei.